Analyse fonctionnelle appliquée , livre ebook

Ce livre d’analyse fonctionnelle appliquée déploie toute la richesse des méthodes d’analyse fonctionnelle mises en œuvre pour étudier les équations elliptiques du second ordre.L’auteur présente des résultats d’existence, d’unicité et de régularité des solutions de problèmes aux limites, ce qui nécessite la construction d’espaces fonctionnels appropriés. Il expose ensuite les propriétés caractéristiques des solutions d’équations elliptiques du second ordre : le principe du maximum, les inégalités de Harnak et la propriété d’unique continuation. Enfin, il donne également un aperçu concis sur les opérateurs pseudo-différentiels. Cet ouvrage ne prétend pas se substituer aux manuels classiques sur le sujet mais propose une approche détaillée, introductive et moderne qui évite des prérequis difficilement accessibles. Il s’adresse aux étudiants en première et seconde années de masters de mathématiques, ainsi qu’aux élèves d’Écoles d’ingénieurs.Préface vNotations principales vii1 Diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints 11.1 Analyse spectrale des opérateurs compacts ............ 11.2 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts..... 81.3 Diagonalisation d’opérateurs provenant de formeshermitiennes 91.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 142 Généralités sur les distributions 192.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 202.2 Convolution de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 242.3 Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 272.4 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 292.5 Localisation et recollement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 312.6 Support singulier d’une distribution . . . . . . . . . .. . . . . 332.7 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . .. . . . . 332.8 Multiplication par une fonction . . . . . . . . . . . .. . . . . . 352.9 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 362.10 Convolution d’une distribution et d’une fonction . . .. . . . . 372.11 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 382.12 Convolution de distributions . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 402.13 Distributions dans les espaces produits . . . . . . . .. . . . . . 432.14 Théorème des noyaux de Schwartz . . . . . . . . . . . .. . . . 452.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 483 Espaces de Sobolev Wk,p 573.1 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 573.2 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . .. . . . . . 603.3 Opérateurs de prolongements et de traces . . . . . . . .. . . . 663.4 Théorèmes d’injections . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 753.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 82ii Analyse fonctionnelle appliquée4 Solutions faibles d’équations elliptiques 954.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 964.2 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 974.3 Diagonalisation d’un opérateur elliptique . . . . . . .. . . . . . 994.4 Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1004.5 Problème de Dirichlet semi-linéaire . . . . . . . . . .. . . . . . 1034.6 Inégalités de Harnak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1074.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1165 Unique continuation et problème de Cauchy 1215.1 Propriétés des fonctions harmoniques . . . . . . . . . .. . . . . 1215.2 Unique continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1295.3 Inégalités de Caccioppoli et d’interpolation . . . . . .. . . . . 1345.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1405.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1496 L’approche de Schauder pour les équations elliptiques 1616.1 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1616.2 Semi-normes équivalentes sur les espaces de Hölder . . .. . . . 1676.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1706.4 Quelques estimations pour les fonctions harmoniques . .. . . . 1776.5 Estimations de Schauder intérieures . . . . . . . . . .. . . . . 1826.6 Problème de Dirichlet dans une boule . . . . . . . . . .. . . . 1876.7 Problème de Dirichlet dans un domaine borné . . . . . .. . . . 1906.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1927 Construction d’une solution fondamentale 2157.1 Fonctions définies par des intégrales singulières . . .. . . . . . 2157.2 Opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . .. . . . . 2237.3 Paramétrix canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2297.4 Solution fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2368 Transformée de Fourier et espaces de Sobolev Hs 2458.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2458.2 Espaces de Sobolev Hs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2538.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2538.2.2 Définition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2548.2.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2578.2.4 Multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2598.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2619 Opérateurs pseudo-différentiels 2719.1 Les symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2729.2 Les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2789.3 Intégrales oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2809.4 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2839.5 Action sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . .. . . . . . 2879.6 Inégalité de Gårding . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2899.7 Les symboles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2919.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 292Bibliographie 309Index 313