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Algèbre T1 , livre ebook

EDP Sciences - Thomas Hausberger , Daniel Guin

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A propos
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Extrait

Description

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le Capes ou l'agrégation.

Il traite de la théorie des groupes, de la théorie des corps et d'un de leurs points communs essentiels, la théorie de Galois des extensions finies. Chacune de ces théories est présentée en détails, depuis les définitions de base jusqu'à des résultats très élaborés. On y présente de nombreuses applications comme, par exemple, les problèmes de constructions à la règle et au compas (quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube, polygones réguliers, ainsi que la résolution par radicaux des équations polynomiales. Les chapitres sont, pour la plupart, suivis de thèmes de réflexion (TR) et de travaux pratiques de « mathématiques assistées par ordinateurs » (TP). Ces TR et TP permettent d'étudier en profondeur des notions qui illustrent ou complètent le cours.

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Mathématiques fondamentales

Mathématiques générales

Mathématiques pures

Mathématiques

Mathematics

Sciences et techniques

Informations

Publié par	EDP Sciences
Date de parution	01 novembre 2008
Nombre de lectures	40
EAN13	9782759803316
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	2 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,4650€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Extrait

ALGÈBRE
Tome 1

GROUPES, CORPS
ET THÉORIE DE GALOIS

Daniel Guin – Thomas Hausberger

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

À propos de la couverture :
4
Le groupe de Galois de l’équationx−2 = 0est le groupe de GaloisG=Gal(K/Q)du
√ √√
4 44
4
corpsK=Q(i,2)engendré surQpar les racines complexes±2,±i2du polynômex−2.
√ √
4 4
Il existe un élémentσdeGdéﬁni parσ(i) =ietσ=( 2)i2et un élémentτdéﬁni par
√ √
4 4
τ(i) =−ietτ= 2( 2). Ces deux éléments engendrantG, on voit que le groupe de Galois est
isomorphe au groupe diédralD4des isométries du carré.
Les sous-corps deKcorrespondent aux sous-groupes deGpar la correspondance de Galois :
par exemple, àH=σcorrespond le sous-corpsQ(i)des invariants deKsous l’action deH. On
peut représenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammes
ci-dessous, où chaque ﬂèche représente une inclusion.
√
4
K=Q(i,2)

√√ √√ √
4 44 4
Q(i2)Q( 2)Q(i,2)Q((1 +i) 2)Q((1−i) 2)

√ √
Q( 2)Q(i)Q(i2)

D4=σ, τ

2 2
τσ , σ ≃Z/4Zσ ,στ

2 2 3
σ τ τ σ στ σ τ

{e}

Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des ﬂèches. On peut se
représenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reﬂet l’un de l’autre, dans
4
l’esprit de la gravure « les 3 mondes » d’Escher. L’équationx−2 = 0est le trait d’union entre
le monde des groupes et celui des corps. Peut-être le troisième monde est-il celui de l’esprit du
mathématicien dont l’inspiration et la raison ont fait naître les concepts, en se heurtant aux
contingences de l’univers mathématique?
Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapport
au corps de baseQ. Il est trivial lorsque toutes les racines sont diﬀérenciées sur la base. Faire
une extension, par exemple adjoindre le nombre imaginairei, permet de regrouper les racines en
catégories, selon qu’elles sont invariantes sousσou pas. C’est l’idée qui a guidé Galois lors de
l’élaboration de son traité sur la résolution des équations : briser progressivement les symétries
entre les racines. Ces travaux ont permis de faire émerger les structures contemporaines de
groupe et de corps.

Algèbre T1

En général, les formules donnant les racines ne sont pas connues. La connaissance du groupe
de Galois nous renseigne sur leur expression. Lorsque le groupe est résoluble, c’est-à-dire lorsqu’il
existe une suiteG⊲G1⊲. . .⊲Gn={e}formée de sous-groupes normaux emboîtés tels que
les quotients successifs soient abéliens, alors les solutions sont exprimables par radicaux. C’est
le cas sur notre exemple :D4⊲Z/4Z⊲{e}.
(1)
Le dessin de la couverture a été réalisé par Jos Leys, ingénieur passionné d’imagerie
mathématique, reconnu internationalement dans le monde de l’édition scientiﬁque pour la qualité de
ses illustrations, en relation directe avec le « substrat » mathématique. Les auteurs le remercient
chaleureusement.

(1)
http://www.josleys.com

iii

Imprimé en France

ISBN: 978-2-86883-974-9
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous
pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des
pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une
contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé
du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justiﬁées
par le caractère scientiﬁque ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L.
122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent
être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie,
3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Avant-propos

Avertissement

Première partie – GROUPES

TABLE DES MATIÈRES

Généralités sur les groupes
I.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Déﬁnitions — exemples
I.2Sous-groupes — morphismes. . . . . . . . . . . . . . . .
A -Sous-groupes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B -. . . . . . . . . . . . . . . .Sous-groupes engendrés
C -. . . . . . . . . . .Ordre d’un groupe, d’un élément
D -Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3Produit direct de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thèmes de réﬂexion
TR.I.A.Étude du groupe symétriqueSn. . . . . . . . . . . . . .
TR.I.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupes cycliques
TR.I.C.Détermination des groupes d’ordren, pour1n9. .

xiii

xvii

3
3
8
8
11
13
13
19

25
25
27
30

Travaux pratiques33
TPI.. . . . . . .33Étude de quelques groupes de permutations .

Groupes quotients
II.1. . . . . . . . . . . . . . .Classes modulo un sous-groupe
II.2Compatibilité avec la structure. . . . . . . . . . . . . . .
II.3Groupes quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
37
41
42

Algèbre T1

III

II.4
II.5
II.6

Caractérisation des sous-groupes normaux .. . . . . . . .
Sous-groupes normaux et morphismes. . . . . . . . . . .
Sous-groupes d’un groupe quotient. . . . . . . . . . . . .

Thèmes de réﬂexion
TR.II.A.. . . . . . . . . . .Sous-groupes dérivés et abélianisation
TR.II.B.Étude des sous-groupes normaux deSn. . . . . . . . . .
TR.II.C.Étude des automorphismes deSn. . . . . . . . . . . . . .

Travaux pratiques
TP.II.Classes, structure quotient et systèmes générateurs forts

Présentation d’un groupe par générateurs et relations
III.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupes libres
III.2Générateurs et relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thèmes de réﬂexion
TR.III.A.Présentation du groupe quaternioniqueH. . . . . . . . .
TR.III.B.Groupes de présentation ﬁnie. . . . . . . . . . . . . . . .
TR.III.C.Quelques propriétés des groupes libres. . . . . . . . . . .
TR.III.D.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Produit libre de groupes .

Groupes opérant sur un ensemble
IV.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Déﬁnitions – Exemples
IV.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Stabilisateurs – Orbites
IV.3Produit semi-direct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A -Groupes opérant sur un groupe. . . . . . . . . . . .
B -. . . . . . . . .Produit semi-direct de sous-groupes
C -. . . . . . . . . . . .Produit semi-direct de groupes
IV.4. . . . . . . . . . . . . . .Opérations transitives, ﬁdèles .
IV.5Points ﬁxes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thèmes de réﬂexion
TR.IV.A.Groupes diédrauxDn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TR.IV.B.Groupe des isométries du cube. . . . . . . . . . . . . . .
TR.IV.C.. . . . . . . . . . . . .Produits et extensions de groupes
TR.IV.D.Groupes libres de rang 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Travaux pratiques
TP.IV.A.Générateurs et relations, autour de l’algorithme
de Todd-Coxeter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
47
48

53
53
54
57

59
59

65
65
72

75
75
75
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81
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87
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90
91

93
93
94
94
96

VII

TP.IV.B

Table des matières

Actionsk-transitives, formule de Burnside
et énumérations de Polya. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Les théorèmes de Sylow117
V.1. . . . . . . . . . . . . . . 117Le premier théorème de Sylow
V.2. . . . . . . . . . . . . . . . 119Le second théorème de Sylow
V.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Applications .

Thèmes de réﬂexion125
TR.V.A.Int(S6)=Aut(S6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
TR.V.B.Détermination des groupes d’ordren,n15. . . . . . . 126
TR.V.C.Détermination des groupes d’ordrepq. . . . . . . . . . . 127

Groupes abéliens129
VI.1. . . . . . . . . . . . 129Somme directe de groupes abéliens .
A -Somme directe de sous-groupes d’un groupe abélien .129
B -Somme directe de groupes abéliens. . . . . . . . . . 131
C -Facteur direct d’un groupe abélien. . . . . . . . . . 132
VI.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Groupes abéliens libres
A -Déﬁnition - Propriété universelle. . . . . . . . . . . 133
B -. . . . . . . . . . . . 137Rang d’un groupe abélien libre
C -. . . . . . . . 140Sous-groupes d’un groupe abélien libre
VI.3. . . . . . . . . . . . . . . . 142Groupes abéliens de torsion .
VI.4. . . . . . . . 145Structure des groupes abéliens de type ﬁni

Thèmes de réﬂexion155
TR.VI.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Rang d’un groupe libre
TR.VI.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Groupes divisibles
TR.VI.C.. . . . . . . . . . . . . . . . 158Calcul des facteurs invariants

Travaux pratiques161
TP.VI.A.. 161Algorithmes de Gauss-Jordan, de Hermite et de Smith .
TP.VI.B.. . . . . . . . . 166Courbes elliptiques et groupe de Mordell

Groupes résolubles177
VII.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Suites de composition
VII.2Suites de Jordan-Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
VII.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Groupes résolubles
VII.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Applications .

vii

Algèbre T1

viii

Deuxième partie – THÉORIE DES CORPS

185

VIII Anneauxde polynômes187
VIII.1Déﬁnitions - Exemples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
VIII.2Idéaux – Morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
VIII.3. . . . . . . . . . . . 194Idéaux maximaux, idéaux premiers .
VIII.4