Problèmes d'analyse III - Intégration , livre ebook

Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak, traduction par Éric Kouris
Problèmes d'analyse III - Intégration
Exercices corrigés
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2008
ISBN papier : 9782759800872 ISBN numérique : 9782759832460
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
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Présentation

La meilleure façon d'apprendre la théorie de l'intégration et d'en voir les subtilités est de résoudre des exercices et des problèmes. Ce livre traite de l'intégration des fonctions réelles d'une variable réelle. Il s'adresse principalement aux étudiants des niveaux L3 et M1 des universités, mais les étudiants des niveaux L1, L2 et les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles trouveront dans le premier chapitre de nombreux exercices pour approfondir leur cours sur l'intégration. Ce livre sera aussi d'une grande utilité pour les candidats aux concours du CAPES et de l'agrégation de mathématiques.
Il contient plus de 500 problèmes portant sur les intégrales de Riemann et Riemann-Stieltjes et sur l'intégrale de Lebesgue. On y trouvera, en plus des exercices de calcul classiques, une section sur les inégalités liées à l'intégrale de Riemann, une autre sur la mesure de Jordan ou encore de nombreux problèmes sur les théorèmes de convergence et les théorèmes de permutation d'intégrales et de limites, de sommes ou de dérivées dans la théorie de Lebesgue. L'ouvrage se conclut par une large section sur les séries de Fourier. Tous les exercices sont corrigés.
Table des matières Préface du traducteur (ÉricKouris) Préface à l édition anglaise (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) Notations et terminologie (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) Continuité, dérivabilité. I. L intégrale de Riemann-Stieltjes (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) Énoncés Solutions II. L Intégrale de Lebesgue (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) Énoncés Solutions Bibliographie Table des renvois (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) Index (Wieslawa J.Kaczor et Maria T.Nowak) B C D E F I L M N P S T V
Préface du traducteur

Éric Kouris

C e livre est le troisième et dernier d une série de trois recueils d exercices corrigés traitant des bases de l analyse réelle. Il s adresse d abord aux étudiants, principalement ceux des niveaux L3 et M1, mais les étudiants des niveaux L1 et L2 tireront un grand profit de l étude du premier chapitre et de la dernière section du second chapitre. Il intéressera aussi les candidats aux concours du CAPES et de l agrégation de mathématiques qui y trouveront autant les théorèmes qu ils doivent connaître que des exercices pour les illustrer.
Ce troisième volume traite de l intégration des fonctions réelles. Le premier chapitre aborde l intégrale de Riemann et de Riemann-Stieltjes (la dernière section applique ce qui précède aux calculs de volumes, d aires et de longueurs), le second chapitre s intéresse à l intégrale de Lebesgue (la quatrième section porte sur la continuité absolue et la continuité approximative et la dernière section sur les séries Fourier). Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des théorèmes classiques.
Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile. Nous les invitons cependant à chercher par eux-mêmes les exercices avant de regarder les solutions et nous insistons aussi sur le fait que les auteurs ne donnent pas nécessairement toutes les étapes d un calcul lorsqu ils considèrent que celui-ci ne pose pas de problèmes techniques. C est bien sur aux étudiants de prendre le temps de rédiger entièrement leurs solutions.
Nous avons ajouter en note les noms de certaines propriétés et relations pour inviter les étudiants à engager des recherches par eux-mêmes. L index à la fin de l ouvrage permet de facilement retrouver une définition et la table des renvois permet de voir les liens entre les différents problèmes dans ce volume et dans les deux autres.
Je tiens à remercier Daniel Guin et Xavier Cottrell pour avoir pris le temps de relire cette traduction et pour les remarques qu ils m ont faites afin d améliorer le style et de corriger les erreurs. Je reste responsable de celles qui subsisteraient. Je souhaite aussi remercier pour sa disponibilité Patrick Fradin, l auteur du logiciel TeXgraph avec lequel toutes les figures de cet ouvrage et l illustration de la couverture ont été réalisées.
Préface à l édition anglaise

Wieslawa J. Kaczor
Maria T. Nowak

C et ouvrage fait suite aux Problèmes d Analyse I et II . Il s intéresse à l intégrale de Riemann-Stieltjes et à l intégrale de Lebesgue des fonctions réelles d une variable réelle. Ce volume est organisé de façon semblable aux deux premiers. Chaque chapitre est divisé en deux parties : les problèmes et leurs solutions. Chaque section commence par un certain nombre de problèmes de difficulté modérée, certains étant en fait des théorèmes. Il ne s agit donc pas d un recueil typique d exercices mais plutôt d un complément à des ouvrages d analyse pour la licence. Nous espérons que ce livre intéressera les étudiants de licence, les enseignants et les chercheurs en analyse et ses applications. Nous espérons aussi qu il sera utile aux personnes travaillant seules.
Le premier chapitre est consacré aux intégrales de Riemann et de Riemann-Stieltjes. La section I.1 traite de l intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à des fonctions monotones ; la section I.3 étudie l intégration par rapport à des fonctions à variation bornée. Nous rassemblons à la section I.6 des inégalités plus ou moins connues portant sur les intégrales. On y trouvera entre autres l inégalité d Opial et l inégalité de Steffensen. Ce chapitre se termine par une section intitulée « Mesure de Jordan ». La mesure de Jordan, appelée aussi « contenu » par certains auteurs, n est pas une mesure dans le sens usuel car elle n est pas dénombrablement additive. Elle est cependant très liée à l intégrale de Riemann et nous espérons que cette section donnera à l étudiant une compréhension plus profonde des idées sous-tendant les calculs.
Le chapitre II traite de la mesure et de l intégration de Lebesgue. La section II.3 présente de nombreux problèmes liés aux théorèmes de convergence qui permettent de permuter limite et intégrale. On y considère aussi les espaces L p sur des intervalles bornés. On discute à la section suivante de la continuité absolue et des relations entre intégration et dérivation. On donne une démonstration du théorème de Banach et Zarecki affirmant qu une fonction f est absolument continue sur un intervalle borné [ a , b ] si et seulement si elle est continue, à variation bornée sur [ a , b ] et transforme les ensembles de mesure nulle en des ensembles de mesure nulle. De plus, on introduit le concept de continuité approximative. On notera ici qu il existe une analogie entre deux relations : d une part la relation entre intégrabilité au sens de Riemann et continuité, d autre part la relation entre intégrabilité au sens de Lebesgue et continuité approximative. Précisément, une fonction bornée sur [ a , b ] est Riemann-intégrable si et seulement si elle est presque partout continue ; de même, une fonction bornée sur [ a , b ] est mesurable et donc Lebesgue-intégrable si et seulement si elle est presque partout approximativement continue. La dernière section est consacrée aux séries de Fourier. Étant donné l existence d une abondante littérature sur ce sujet, par exemple le livre de A. Zygmund, Trigonometric Series , celui de N.K. Bari, A Treatise on Trigonometric Series et celui de R.E. Edwards, Fourier Series , il a été difficile de choisir quel matériel inclure dans un livre s adressant principalement à des étudiants de licence. En conséquence, nous nous sommes concentrés sur les coefficients de Fourier de fonctions de différentes classes et sur les théorèmes élémentaires portant sur la convergence des séries de Fourier.
Toutes les notations et définitions utilisées dans ce volume sont standards. On peut les trouver dans les ouvrages [28] et [29] qui donnent aussi aux lecteurs les connaissances théoriques suffisantes. Cependant, pour éviter toute ambiguïté et pour que l ouvrage ne nécessite pas le recours à des références extérieures, nous démarrons presque chaque section par un paragraphe d introduction présentant les premières définitions et les théorèmes utilisés dans cette section. Nos conventions pour les renvois s expliquent le mieux par des exemples : I.2.13, I.2.13 (vol. I) et I.2.13 (vol. II) représentent respectivement le numéro du problème dans ce volume, dans le volume I et dans le volume II. On utilise aussi les notations et la terminologie données dans les deux premiers volumes.
Nous avons emprunté de nombreux problèmes aux sections de problèmes de journaux tels que l American Mathematical Monthly ou le Mathematics Today (en russe) et de différents livres de cours et recueils d exercices ; de tout ceci, seuls les livres sont cités dans la bibliographie. On aimerait ajouter que de nombreux problèmes de la section I.5 proviennent du livre de Fikhtengol ts ([11]) et que la section I.7 a été influencée par le livre de Rogosinski ([27]). Il allait malheureusement au-delà de nos objectifs de repérer les sources originales et nous présentons nos sincères excuses si nous sommes passés à côté de certaines contributions.
Nous voudrions, pour finir, remercier plu