Probabilité , livre ebook
153
pages
Français
Ebooks
2008
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Français
Ebook
2008
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Publié par
Date de parution
01 janvier 2008
Nombre de lectures
44
EAN13
9782759801060
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
4 Mo
Ce recueil d'exercices corrigés complète le livre « Probabilité » de Philippe Barbe et Michel Ledoux édité dans la même collection et destiné aux étudiants de Licence ou Master de mathématiques (L3-M1). Il en reprend l'ensemble des énoncés de fins de chapitres et propose des solutions détaillées.
Publié par
Date de parution
01 janvier 2008
Nombre de lectures
44
EAN13
9782759801060
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
4 Mo
PROBABILITÉ
Exercices corrigés
Hervé Carrieu
Collection dirigée par Daniel Guin
El S C I ENCES Imprimé en France
ISBN : 978-2-7598-0006-3
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous
pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des
pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une
contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé
du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées
par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L.
122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent
être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie,
3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : O1 43 26 95 35.
@ 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabccuf,
91944 Les Ulis Cedex A TABLE DES MATIÈRES
V Int ro d uc t ion
1 I Théorie de la mesure
9 II Intégration
19 III Mesure de probabilité
41 IV Indépendance
Convergence de suites de variables aléatoires 73 V
99 VI Probabilités et espérances conditionnelles
123 VI1 Martingales (à temps discret)
139 VI11 Chaînes de Markov (à espace d’états dénombrable) INTRODUCTION
Ce recueil d’exercices corrigés complète le livre Probabzlzté de Ph. Barbe et
M. Ledoux édité dans la même collection. I1 regroupe l’ensemble des énoncés des
chapitres I à VI11 (excepté l’un d’eux du chapitre VIII) ; les références au cours
sont notées en caractères gras et gardent la même numérotation.
Je remercie très sincèrement Philippe Barbe et Michel Ledoux de l’accueil qu’ils
ont fait à ce projet de rédaction.
,T’espère que cet ouvrage constituera une aide efficace et agréable aux étudiants,
en leur rappelant que la recherche active de solutions d’exercices est indispensable
ii l’assimilation de notions nouvelles et qu’elle apporte souvent plus que la solution
elle-même.
Je remercie les éditions EDP Sciences et D. Guin, directeur de la collection, d’avoir
accepté et accompagné la publication de cet ouvrage.
Merci eiifiri à Patrice Lassère pour SOKI aide et se5 encouragements.
Cauterets, juillet 2007
Hervé Carrieil I
THÉORIE DE LA MESURE
Énoncés
1.1 Soit E une partie (fixée) d’un ensemble R, et soit
&=(A€P(R): ACE}
Déterminer l’algèbre de Boole engendrée par 1.
1.2 Si Al et A2 sont des tribus sur R? on pose
Démontrer que a(J) = a(A1 U Az) = o(U).
1.3 Soit (R = R1 x R2,A = A1 @ A2) un espace mesuré produit. Si A E A,
montrer que pour tout w1 E 01, la section A,, = { w2 E 02 : (w1, w2) E A } est
mesurable.
1.4 Soit (fn)ntN une suite de fonctions mesurables de (0,A) dans un espace
métrique (E,d) muni de sa tribu borélienne. On suppose que fn converge ponc-
tuellement vers f (i.e. pour tout w E R, limn-ocjfTL(w) = f(w)). Montrer que f
est mesurable.
Indlctrttorr : pour fout ouil( rt Ir dr E ( f I’ E W torricdr:r( I U, = { I’ E U : (/(I. I-; \
IT) > il1 1. 17c7/fipr f-l(r;) = u, 111 nli>ll, j,;~(v,). CHAPITRE I. THI~ORIE DE LA AIESURE
1.5 Si x = (21,. . . ,xn) E IRn, on note +(x) le vecteur x ordonné par ordre
croissant, i.e. dans le cas où tous les x2 sont distincts, on a +(x) = (XI,,, . . . , xn,,),
où XI,, = min1121n x, et
25i~n. x,,,=min({x, : i<z<n}\{xJ,, : i<j<z-1}),
Montrer que + est mesurable.
Indiccit~oii or1 poirrrci conirrifr1(cr par rrrmtrci qiic I t-) r ,) cst rnr~surablt~ pour
tout 1 5 2 5 71 mi considirant IC 3 c.nsrrrili7e~ { I I ,, 5 (I }. (I E R.
1.6 Un exemple d’ensemble non mesurable.
Sur IR on définit la relation d’équivalence z N y si 2 - y E Q. En utilisant
l’axiome du choix (si A est une fonction sur un ensemble I telle que A(x) # 0
pour tout x de I, il existe une f telle que f(x) E A(x) pour tout x E I),
construire un ensemble A C [O, 1 [ qui contient exactement un point de chaque
classe d’équivalence. Supposons A mesurable, et soit a = X(A) sa mesure de
Lebesgue. Montrer que si T,S E Q et T # s, alors (A + s) ri (A + r) = 0, où
A + x = {y + x : y E A}, et que X(A + s) = X(A). Remarquer que
1 = X([0,1]) I X( u (A+T)) I X([-1,2]) =3.
ram] -1,1[
En utilisant la 0-additivité de A, montrer que cette inégalité conduit d’une part
à a = O, d’autre part à a > O. Conclure.
1.7 Théorème d’Egorov.
Soit (Q, A, p) un espace mesuré tel que p(R) < 00 ; on considère des applications
f, f,, n E N, de R dans IR, telles que f, + f p-p.p., c’est-à-dire, telles que
P({W : fn(4 74 f(4 >) = 0.
a) Pour n E N et E > O, soit G,,, = {w E R : Ifn(w) - f(w)l 2 E} et
E,,, = Urn>, Gm,E. Démontrer que pour tout E > O,
et en déduire que limn+m p(E,,+) = O.
11) Déduire de la question précédente que pour tous ~,b > O, il existe no E N
et BE,6 E A tels que p(B,,b) < 6 et pour tout w E R \ BE,6 et tout n 2 no,
IfnW - f(4 5 E.
2 c) Soit a > O ; pour tout entier p 2 1, on pose E, = l/p, 6, = a/2p, A, = BEp,b,
et A = Up>i A,. Démontrer que p(A) 5 a et que fn + f uniformément sur
O\A.
1.8 Soit (0, A, p) un espace mesuré. Une partie N C R est dite pu-négligeable si
elle est contenue dans un ensemble mesurable A tel que p(A) = O. La tribu B est
dite complète pour p si elle contient’ tous les ensembles négligeables.
Si N désigne l’ensemble des parties p-négligeables, soit
,A,= {AuN; AEA, NEN}.
Montrer que A, est une tribu, appelée la tribu p-complétée de A.
1.9 Soient X et Y deux espaces topologiques munis respectivement des tribus
boréliennes Bx et By, p une mesure sur Bx, et f : X -f Y une fonction continue
p-p.p., c’est-à-dire telle que l’ensemble N = { z E X : f discontinue en x} soit
p-négligeable. Démontrer que f est mesurable de (X, Bx) dans (Y, By) où ax est
Bx par rapport à p. la tribu complétée de
3 Solutions
Notons A l’algèbre de Boole engendrée par &. I1 est clair que A contient 1.1
toutes les parties de E et toutes les parties de R contenant Ë, c’est-à-dire :
{A E P(fl), A c E ou A 2 Ë}.
Et ce dernier ensemble de parties est une algèbre de Boole. Ainsi
A = {A E P(G), A c E OU A 3 E}.
Remarque : c’est aussi l’ensemble de toutes les parties A de 0 vérifiant
AnE=E OU AnE=0.
1.2 Remarquons que les complémentaires d’ensemble de J, c’est-à-dire les --
ensembles de la forme (Al n Az) = Al U A2, sont dans U. Cela implique que
a(3) c a(U). Par le même argument on a l’inclusion réciproque et donc l’éga-
lité de ces deux tribus.
De plus, puisque J contient Ai et A2 (car A = Ann), on a a(A1üAz) C a(3).
Enfin, une tribu étant stable par union, l’inclusion de Ai et A2 dans o(A1UA2)
montre que a(U) c a(A1 U A2). Ainsi
a(3) = a(A1 u A2) = a(U).
1.3 Soit M l’ensemble
M = {A E A, VW~ E Ai, A,, E A2}.
I1 est clair que M contient tous les pavés de A1 8 A2.
Vérifions que M est une tribu.
~ S2 E M car 02 E Az.
- Pour tout A E M et tout w1 E 01, on a (A),, = (Awl) E A2.
- Pour toute suite (An)n de parties de M et tout w1 E RI, on a
O Par définition de la tribu dl @ Az, on en déduit que M = A.
4 1.4 On suppose donc que b’w E Q, fn(w) -f f(w). Par la Proposition 1.1.14,
il suffit de vérifier que, quel que soit l’ouvert U c E, f-’(U) E A. Or pour
tout w E R :
w Ef-yU) f(w) E u
* iimfn(w) E U
n
3r E IV*, fn(w) E Ur à partir d’un certain rang rn
++ E un K(W.
r,m n
Or quels que soient n et r, fi1(&) E A, donc j-’(U) E A. O
1.5 Pour tout a E IR,
où I parcourt l’ensemble des parties à i éléments de l’ensemble { 1,2, . . . , n}.
La fonction z H est alors mesurable (voir Excrriples 1.1.8 et Proposi-
tion 1.1.14).
Enfin, par la Proposition 1.2.1, qi est mesurable.
1.6 S’il existe z,y E A, distincts, tels que z + r = y + s, alors z et y sont
dans la même classe d’équivalence, ce qui contredit la définition de A. D’où
(A + r) n (A + s) = 0. On en déduit que la réunion
est une réunion de parties disjointes deux à deux.
D’autre part, la mesure de Lebesgue étant invariante par translation, quel que
T, X(A + r) = X(A) = cy. D’où soit
5 CHAPITRE I. THGORIE DE
on a nécessairement
et la somme dans (1.1) est donc bornée, d’où a = O.
Enfin, par construction de A,
d’où
Ce qui contredit l’assertion û: = O. Donc la partie A n’est pas mesurable.
I. 7
a) Notons E l’ensemble mesurable sur lequel la suite d’applications converge
et soit E strictement positif. Par définition, on a
MW E E, 3n E N, MVL 2 n, Ifm(W) - f(~)l < E.
Autrement dit
Prenant l’évènement contraire, on a
Remarquons que cet évènement de mesure nulle est décrit comme l’inter-
Gm,e)n section d’une suite décroissante d’évènements, car la suite
est décroissante, et la mesure p étant finie, on a (voir Proposition
1.4.3.(iv)) :
6 s OL 11'1 I ON S
11) Soit 6 > O et no E N vérifiant
On pose B,,J = E,,,, et donc p(BE,6) I 6.
-
D'autre part si w E R \ B,,6 alors, quel que soit n 2 no, w E G,,, et donc
WAJ E a\ BE,& VT2 2 720, Ifn(4 - f(4l < E.
c) L'ensemble mesurable A vérifie :
Montrons alors que la suite (fn)) converge uniformément sur R \ A.
Soit E > O et soit po E N vérifiant l/po < E. On a
w$A===+'dp, WE&.
En particulier w E A,, et donc par construction de A,, il existe un no E N
tel que :
1
'dw E R \ A, 'dn L no, If,(w) - f(w)l I - < E.
P
Donc la suite (f,) converge uniformément vers f sur R \ A.
1.8 Soit (An),€= une suite de parties de Ap. On pose alors
A, = A; ü NA, avec A: E A, NA c N: E A et p(Nn) = O.
On a
Ed EN
où u,NA E N car
On en déduit que UA, E A,,.
Concernant le passage au complémentaire, pour A élément de A,, on pose
A = Al ü Ni avec Al E A, Ni C N2 et p(N2) = O.
7 On a
I1 est clair que Al E A et d'autre part
K=ZU(%\K).
__
Or Ni \ N2 = N2 \ Ni E N car inclus dans N2. On obtient donc
-
A = (&nx) u (&n (K\%)) E A,. --
EA EN
Enfin, il est évident que R E A,, donc A, est une tribu. O
1.9 On rappelle que f est continue en z si quel que soit W, voisinage
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