Géométrie , livre ebook

430

pages

Français

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2006

Écrit par
Michèle Audin

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EDP Sciences

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EDP Sciences

Date de parution

01 avril 2006

Nombre de lectures

EAN13

9782759801800

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

2 Mo

Ce livre est destiné aux étudiants de Licence ou Master de Mathématiques (L3M1) et à ceux qui préparent le CAPES ou l'agrégation.

L'ouvrage traite de géométrie affine, euclidienne, projective, de coniques et quadratiques, de géométrie différentielle des courbes et des surfaces. Il contient un exposé rigoureux, basé sur l'algèbre linéaire et, en même temps, de la "vraie" géométrie : des triangles, des sphères, des polyèdres, des angles inscrits, des inversions, des paraboles, des enveloppes... Ce livre est illustré de 195 figures et de 411 exercices avec indications de solution. L'ouvrage se découpe en 8 chapitres : géométrie affine , géométrie euclidienne (généralités), géométrie euclidienne plane , géométrie euclidienne dans l'espace , géométrie projective ,coniques et quadriques ,courbes, enveloppes et developpées , surfaces dans l'espace de dimension 3.

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Date de parution

01 avril 2006

Nombre de lectures

EAN13

9782759801800

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

2 Mo

GÉOMÉTRIE

Michèle Audin

17 avenue de Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Michèle Audin Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université Louis Pasteur et CNRS, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France. Email: Michele.Audin@math.ustrasbg.fr ~ Urlmaudin: http://wwwirma.ustrasbg.fr/

ISBN : 2868838839

Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n' autorisant, aux termes des

alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation

collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite

sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par

quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.

TABLE

DES

MATIÈRES

Ceci est un livre.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Géométrie aﬃne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.1. Le postulat des parallèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.2. Espaces aﬃnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.3. Applications aﬃnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.4. Trois théorèmes de géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I.5. Appendice : rappels succincts sur les barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.6. Appendice : notion de convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I.7. Appendice : coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II. Géométrie euclidienne, généralités51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1. Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.2. Structure des isométries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.3. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

III. Géométrie euclidienne plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 III.1. Angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 III.2. Isométries et déplacements du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 III.3. Similitudes planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 III.4. Inversions et faisceaux de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV. Constructions à la règle et au compas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 IV.1. La règle du jeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 IV.2. Les nombres constructibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 IV.3. Applications à des problèmes de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 IV.4. La question des polygones réguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IV.5. Remarques supplémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Table des matières

V. Géométrie euclidienne dans l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. . . . . . . . . . V.1. Isométries et déplacements de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 V.2. Produit vectoriel, calculs d’aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 V.3. Sphères, triangles sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 V.4. Polyèdres, formule d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 V.5. Polyèdres réguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

VI. Géométrie projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1. Espaces projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 VI.2. Sous-espaces projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 VI.3. Liaison aﬃne/projectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 VI.4. Dualité projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 VI.5. Homographies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 VI.6. Birapport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 VI.7. Droite projective complexe, groupe circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

VII. Coniques et quadriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221. . . . . . VII.1. Quadriques et coniques aﬃnes, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 VII.2. Classiﬁcation et propriétés des coniques aﬃnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 VII.3. Quadriques et coniques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 VII.4. Birapport sur une conique et théorème de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 VII.5. Quadriques aﬃnes et géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 VII.6. Cercles, inversions, faisceaux de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 VII.7. Rappels sur les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

VIII. Courbes, enveloppes et développées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 VIII.1. Enveloppe d’une famille de droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 VIII.2. Courbure d’une courbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 VIII.3. Développées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 VIII.4. Appendice : rappels sur les courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

IX. Surfaces dans l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 IX.1. Exemples de surfaces dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 IX.2. Géométrie diﬀérentielle des surfaces de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 IX.3. Propriétés métriques des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 IX.4. Appendice : quelques formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Table des matières

Indications pour les exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Chapitre I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Chapitre II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Chapitre III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Chapitre IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Chapitre V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Chapitre VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Chapitre VII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Chapitre VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Chapitre IX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407. . . . . . . . . . .

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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