Variétés différentielles, physique et invariants topologiques , livre ebook
374
pages
Français
Ebooks
2023
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Ebook
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Publié par
Date de parution
08 juin 2023
Nombre de lectures
8
EAN13
9782759831432
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
3 Mo
La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.
Introduction 7
1 Variétés topologiques 13
1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16
1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17
1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21
1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23
1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33
2 Groupe fondamental 39
2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43
2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45
2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50
2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54
2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58
3 Catégories et foncteurs 61
3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61
3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63
3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66
3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67
3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69
3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71
3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72
3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73
3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74
3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75
3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78
3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79
3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81
4 Variétés différentiables 85
4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85
4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90
4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92
4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93
4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95
4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96
4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97
4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101
4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103
4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106
5 Espaces fibrés 109
5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109
5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113
5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116
5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116
5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117
5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118
5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121
5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124
5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128
5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129
5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130
6 Algèbre tensorielle et extérieure 135
6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135
6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137
6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140
6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142
6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144
6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146
6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147
6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150
6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152
7 Formes différentielles 157
7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157
7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160
7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161
7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162
7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163
7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164
7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166
7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171
8 Géométrie riemannienne 175
8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175
8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180
8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185
8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186
8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188
8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193
8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194
8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198
8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203
8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207
9 Algèbre homologique 211
9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211
9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216
9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221
9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227
9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229
9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231
9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238
10 Variétés complexes 247
10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247
10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251
10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252
10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255
10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268
11 Connexions sur les fibrés 271
11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271
11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273
11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274
11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276
11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277
11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280
11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283
12 Théorie de l’indice 287
12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287
12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290
12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301
12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303
12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311
13 Systèmes hamiltoniens 315
13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315
13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320
13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323
13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328
13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333
13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336
13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341
13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343
13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345
14 Relativité générale 349
14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350
14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351
14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355
14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356
14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357
14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359
14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361
Bibliographie 365
Publié par
Date de parution
08 juin 2023
Nombre de lectures
8
EAN13
9782759831432
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
3 Mo
PROfil
Variétés différentielles,
physique et invariants
topologiques
Franck Jedrzejewski
9782759831425-COUV_Var_Diff.indd 1 12/04/2023 10:37PROfil
Variétés différentielles, physique
et invariants topologiques
Franck Jedrzejewski
L a géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans
de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la
matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation
des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes :
la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts
de la géométrie riemannienne.
Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des
variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant
volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et
introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice,
qui ont été au cœur des résultats les plus récents.
Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en
master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité,
ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique
contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur
le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est
au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.
Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA. Il
enseigne à l’INSTN et à l’université de Paris-Saclay. Il est l’auteur d’une vingtaine
d’ouvrages, dont les Mathématiques pour l’imagerie médicale.
Les ouvrages de la collection PROfil ont 978-2-7598-3142-5
pour vocation la transmission des savoirs
professionnels dans différentes disciplines. Ils
sont rédigés par des experts reconnus dans
leurs domaines et contribuent à la formation
9 782759 831425 www.edpsciences.org et l’information des professionnels.
9782759831425-COUV_Var_Diff.indd 1 12/04/2023 10:37Variétés différentielles,
Physique et invariants
topologiques
Franck Jedrzejewski
Imprimé en France
ISBN (papier) : 978-2-7598-3142-5 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-3143-2
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous
pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part,
que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées
à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le
er de consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1
l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait
donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.
© EDP Sciences, 2023 Sommaire
Introduction 7
1 Variétés topologiques 13
1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Classifcation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Groupe fondamental 39
2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3es libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 50
2.6etal d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Catégories et foncteurs 61
3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Sommaire
3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8 F représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Variétés diférentiables 85
4.1 Calcul diférentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 85
4.2 Variétés diférentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Applications diférentiables entre variétés . . . . . . . . . 92
4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 101
4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Espaces fbrés 109
5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Classifcation des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9 en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Algèbre tensorielle et extérieure 135
6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 135
6.2 Produit d’applications linéaires . . . . . . . . . 137
6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Sommaire 5
6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 146
6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 150
6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Formes diférentielles 157
7.1 Formes diférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Algèbre des formes diférentielles . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4 Diférentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.6 Intégration des formes diférentielles . . . . . . . . . . . . 164
7.7 Formes exactes, fermées . . . . . . . . . . . . . . 166
7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8 Géométrie riemannienne 175
8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9 Algèbre homologique 211
9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3 singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.5 à coefcients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10 Variétés complexes 247
10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526 Sommaire
10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
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