Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles , livre ebook

La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple.
L’analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP.
Elle s’appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre et du caractère principal du schéma.
Ce livre s’adresse à un public d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux.

I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11

3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13

3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14

4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23

4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24

4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31

4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et

dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32

4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.1 Première méthode : développement de Taylor et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46

4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48

4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini de termes . . 49

4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69

5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75

5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82

5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83

5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88

5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94

5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95

5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98

5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105

5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109

5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une condition initiale marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111

5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114

5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119

5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124

5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125

5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128

5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128

5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129

5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130

5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134

6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138

6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 139

6.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145

7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145

7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146

7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147

7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147

7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148

7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149

7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150

7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154

7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159

7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186

8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191

8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191

9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advection à vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199

10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémas centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203

10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204

10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215

11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223

12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239