Physique et outils mathématiques , livre ebook

Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol
Physique et outils mathématiques
Méthodes et exemples
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2008
ISBN papier : 9782759800438 ISBN numérique : 9782759829941
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
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Présentation

Fonctions de réponse, relations de Kramers-Kronig, fonctions de Green, méthode du col, autant de méthodes et d’outils mathématiques omniprésents en physique et en sciences de l’ingénieur qui sont mis à l’honneur par cet ouvrage.
La présentation privilégie arguments et interprétations physiques sans pour autant perdre la rigueur indispensable. Des introductions synthétiques en décrivent les caractéristiques essentielles, établissant ainsi connexions et analogies entre différents domaines. Elles sont complétées d’une vingtaine d’applications portant sur des domaines variés de la physique (électromagnétisme, hydrodynamique, physique statistique, mécanique quantique) qui sont traitées en détail, et accompagnées d’exercices avec des éléments de solution.
La lecture autonome de l’ouvrage est facilitée par une présentation pédagogique évitant les développements trop techniques, ainsi que par la description schématique d’outils importants en annexe. Le public concerné comprend naturellement les étudiants physiciens en Master ou en Doctorat, quelle que soit leur spécialité. Cet ouvrage étant également conçu comme un manuel, il s’adresse aussi aux chercheurs, enseignants, élèves ingénieurs et ingénieurs.
Table des matières Préface (Stephan Fauve) Avant-propos Introduction Chapitre 1. Réponse linéaire et analyticité 1.1. Propriétés générales 1.2. Applications et exemples 1.3. Exercices Chapitre 2. Fonctions de Green indépendantes du temps 2.1. Propriétés générales 2.2. Applications et exemples 2.3. Exercices Chapitre 3. Fonctions de Green dépendantes du temps 3.1. Propriétés générales 3.2. Applications et exemples 3.3. Exercices Chapitre 4. Méthode du Col 4.1. Propriétés générales 4.2. Applications et exemples 4.3. Exercices Appendice A. Fonctions d une variable complexe Analyticité Théorème des résidus et lemmes de Jordan Partie principale de Cauchy et distribution de Dirac Appendice B. Transformée de Laplace Définition. Domaine de définition. Exemples. Propriétés. Convolution. Transformation inverse. Preuve. Appendice C. Opérateurs différentiels à une variable Fonction de Green causale Méthode de variation de la constante Appendice D. Espaces de Hilbert et notation de Dirac Kets d un espace de Hilbert Produit scalaire Base |r Projecteurs orthogonaux Relation de fermeture Opérateurs Appendice E. Calcul d intégrales gaussiennes Transformée de Fourier d une gaussienne réelle Terme quadratique imaginaire pur Intégrales multiples Appendice F. Généralités sur les transformations de coordonnées Métrique. Changement de coordonnées. Élément infinitésimal de volume. Distribution de Dirac. Gradient. Divergence. Appendice G. Harmoniques sphériques Séparation des variables. Fonctions de Legendre associées. Harmoniques sphériques. Fonctions harmoniques. Appendice H. Dérivée fonctionnelle Exemple. Appendice I. Fonctions de Green usuelles Opérateur Laplacien Opérateur de Helmholtz + m 2 Opérateur de diffusion / t D Opérateur associé à une particule quantique libre / t - ( i /2 m ) Opérateur d Alembertien (1/ c 2 )( 2 / t 2 ) Appendice J. Solutions des exercices Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Appendice K. Références bibliographiques Références générales pour les mathématiques Références pour le chapitre 1 Références pour les chapitres 2 et 3 Références pour le chapitre 4 Bibliographie Index A B C D E F G H I K L M N O P R S T U V W Y
Préface

Stephan Fauve

L enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est une tâche difficile. Bien qu il existe de nombreux cours de mathématiques pour physiciens, dont certains sous la plume d auteurs célèbres, ceux-ci ne suscitent en général pas l enthousiasme des étudiants. Certains rechignent en effet à s imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors que les autres, n ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leurs goûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans beaucoup d autres sujets « à l interface », il n est donc pas rare que l on aboutisse à un résultat qui n intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre a le grand mérite d éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiques dans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivé l invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas abordées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autre contexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses applications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement comme motivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver des relations sur les susceptibilités d un système physique et d appréhender les conséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la méthode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications, en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souvent présentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts communs à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels. J ai eu l occasion d assister au développement initial de ce cours dans le cadre du DEA « Physique statistique et phénomènes non linéaires de l ENS Lyon ». J ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEA en attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de physique ainsi qu une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Je souhaite à ce livre un succès comparable.
Avant-propos

P endant l hiver 1994-1995, Stephan Fauve, alors responsable du DEA de Physique Statistique et Phénomènes Non-Linéaires de l École Normale Supérieure de Lyon, proposa à l un d entre nous (A.A.) de faire un cours sur des outils mathématiques particulièrement utiles aux physiciens, comme les relations de Kramers-Kronig ou les fonctions de Green. Cette suggestion partait du constat, encore d actualité à l heure où nous écrivons ces lignes, que ces notions sont souvent voilées de mystère. Introduites de manière ponctuelle, chaque fois qu elles interviennent dans un domaine particulier, elles apparaissent comme trop abstraites ou absconses, et donc hors de portée parce qu elles feraient appel à des connaissances mathématiques trop pointues. Un des objectifs essentiels du cours qui débuta à la rentrée 1995 fut donc en quelque sorte de démythifier les méthodes correspondantes, en montrant qu elles reposent sur des outils simples comme l analyse dans le plan complexe. De plus, il s agissait de privilégier les arguments et autres interprétations physiques, sans pour autant perdre la rigueur mathématique indispensable. Ce cours a été successivement repris par les deux autres auteurs de cet ouvrage (P.P. puis M.M.), d abord en tant que cours de DEA, puis comme cours de première année de Master de physique. Ainsi, tout en conservant l esprit original, le contenu du cours a été enrichi de nouvelles méthodes de résolution ainsi que d autres applications, tandis que sa présentation a été adaptée à des étudiants de première année de Master.
L ouvrage réalisé reprend la démarche des cours successivement donnés par chacun d entre nous, en incorporant des aspects pédagogiques motivés par les réactions et les difficultés des étudiants. Il consiste en un exposé général des méthodes suivi d exemples choisis parmi différents domaines de la physique. Le niveau requis correspond à la Licence de physique. Plus précisément, le lecteur est supposé être familier avec les piliers de la physique classique que sont la mécanique, l électromagnétisme et la thermodynamique. Pour certains exemples, une connaissance limitée de concepts élémentaires de mécanique quantique ou de physique statistique est nécessaire. Lorsque les applications pourraient faire appel à des notions d un niveau supérieur, nous avons opté pour des présentations très simples, accessibles directement sans avoir recours à des ouvrages spécialisés. Les digressions ou prolongements vers des problèmes plus complexes sont détachés du texte principal sous la forme de brefs commentaires. Une collection d exercices, suivis de quelques éléments de solution, et un ensemble d annexes complètent le corps principal du livre. Les annexes décrivent essentiellement certains compléments mathématiques, que le lecteur peut ainsi appréhender sans se perdre dans la littérature.
Le public concerné par ce livre comprend naturellement les étudiants en physique ou ingénierie, qu ils soient en Master ou en Doctorat. Le caractère transversal de la présentation devrait les conduire à se détacher des particularités propres à chaque domaine pour identifier des propriétés essentielles communes. Passer d un domaine à un autre, comme de la mécanique quantique à l électromagnétisme par exemple, devrait les aider dans la synthèse de connaissances souvent éparpillées. L ouvrage est également conçu comme un manuel, dont une lecture plus ponctuelle, en relation avec un problème concret, est possible. Dans ce but, les diverses situations physiques traitées sont répertoriées dans l index. Ainsi, il devrait aussi être utile aux chercheurs, enseignants et ingénieurs.
Soulignons que l approche et le style de ce livre le dém