Symétries continues, livre ebook

Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.

Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.

Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.

I Transformations de symétrie 1

A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24

AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 29

1 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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II Notions sur la théorie des groupes 37

A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48

AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 57

1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61

A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86

AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 97

1 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 97

2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L  . . . . . 99

3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 101

4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

IV Représentations induites dans l’espace des états 105

A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107

B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114

D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115

E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120

AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 127

1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 133

1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139

A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 171

1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173

BV Groupe des déplacements géométriques 177

1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 178

2 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190

CV Groupe de Lorentz propre 201

1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 207

3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

DV Réflexions d’espace (parité) 213

1 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 215

3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221

A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222

B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234

AVI Lagrangiens des équations d’onde 245

1 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

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VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251

A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252

B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281

AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 297

1 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 297

2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 299

3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 301

5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303

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VIII Transformation des observables par rotation 305

A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345

AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 355

1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 361

6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 367

1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 367

2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369

CVIII Les moments multipolaires 373

1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 374

2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 387

3 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393

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IX Groupes SU(2) et SU(3) 399

A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401

B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417

C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 449

1 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 449

2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 451

3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 455

1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

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X Brisures de symétrie 461

A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462

B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

APPENDICE 477

I Le renversement du temps 477

1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 478

2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 483

3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 491

4 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 498

5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503