Mécanique Quantique - Tome 1, livre ebook

Ouvrage publié grâce au mécénat du Centre National de la Recherche Scientifique, de Paris-Sciences-et-Lettres et du Collège de France.Cet ouvrage, issu de nombreuses années d’enseignements universitaires à divers niveaux, a été conçu afin de faciliter le premier contact avec la physique quantique et d’aider ensuite le lecteur à progresser continûment dans la compréhension de cette physique. Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, sont devenus des classiques dans le monde entier, traduits dans de multiples langues. Ils se placent toutefois à un niveau intermédiaire et ont été complétés par un troisième tome d’un niveau plus avancé. L’ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n’est passée sous silence et où chaque aspect du problème est discuté (en partant souvent d’un rappel classique).Cette volonté d’aller au fond des choses se concrétise dans la structure même de l’ouvrage, faite de deux textes distincts mais imbriqués : les « chapitres » et les « compléments ». Les chapitres présentent les idées générales et les notions de base. Chacun d’entre eux est suivi de plusieurs compléments, en nombre variable, qui illustrent les méthodes et concepts qui viennent d’être introduits ; les compléments sont des éléments indépendants, dont le but est de proposer un large éventail d’applications et prolongements intéressants. Pour faciliter l’orientation du lecteur et lui permettre d’organiser ses lectures successives, un guide de lecture des compléments est proposé à la fin de chaque chapitre. Le tome I fournit une introduction générale, suivie d’un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique. L’expérience d’enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace. Les postulats sont ensuite clairement énoncés à partir du troisième chapitre avec de nombreuses applications en compléments. Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple le spin et les systèmes à deux niveaux, ou encore l’oscillateur harmonique qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des  molécules, phonons, etc.) dont bon nombre font l’objet d’un complément spécifique.Tome II ONDES ET PARTICULES. INTRODUCTION AUX IDÉES FONDAMENTALES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 1A Ondes électromagnétiques et photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3B Corpuscules matériels et ondes de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . 10C Description quantique d’une particule. Paquets d’ondes . . . . . . . . . 14D Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps . . . . . . . . 24GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 35AI Ordre de grandeur des longueurs d’onde 37BI Contraintes imposées par la relation de Heisenberg 411 Système macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Système microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41CI Relation de Heisenberg et paramètres atomiques 43DI Une expérience illustrant la relation de Heisenberg 47EI Paquet d’ondes à deux dimensions 511 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Dispersion angulaire et dimensions latérales . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53FI Lien entre les problèmes à une et à trois dimensions 551 Paquet d’ondes à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 Justification des modèles à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 58GI Paquet d’ondes gaussien 591 Définition d’un paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Calcul de Δx et Δp ; relation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Evolution du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61HI Potentiels carrés à une dimension 651 Comportement d’une fonction d’onde stationnaire ϕ(x) . . . . . . . . . 652 Étude de certains cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67JI Paquet d’ondes dans une marche de potentiel 771 Réflexion totale : E 2 Réflexion partielle : E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81KI Exercices 85II LES OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE...89A Espace des fonctions d’onde d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . 90B Espace des états. Notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104C Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118D Equation aux valeurs propres. Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 128E Deux exemples importants de représentations et d’observables . . . . . . 141F Produit tensoriel d’espaces d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 161AII Inégalité de Schwarz 163BII Rappel de quelques propriétés utiles des opérateurs linéaires 1651 Trace d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652 Algèbre des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673 Restriction d’un opérateur à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . 1674 Fonctions d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685 Dérivation d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171CII Opérateurs unitaires 1751 Propriétés générales des opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . 1752 Transformation unitaire sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793 Opérateur unitaire infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180DII Etude plus détaillée des représentations {|ri} et {|pi} 1831 Représentation {|ri} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832 Représentation {|pi} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186EII Quelques propriétés générales de deux observables Q et P dont le commutateur est égal à i~ 1891 Opérateur S(λ) : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892 Valeurs propres et vecteurs propres de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903 Représentation {|qi} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914 Représentation {|pi}. Symétrie entre les observables P et Q . . . . . . . 192FII Opérateur parité 1951 Etude de l’opérateur parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Opérateurs pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983 Etats propres d’une observable B+ paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Application à un cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . 201GII Application des propriétés du produit tensoriel ; puits infini à deux dimensions 2031 Définition ; états propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032 Etude des niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204HII Exercices 207III LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 215A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215B Enoncé des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217C Interprétation physique des postulats sur les observables et leur mesure 229D Contenu physique de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . 239E Principe de superposition et prévisions physiques . . . . . . . . . . . . . 256GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 271AIII Particule dans un puits de potentiel infini : étude physique 2751 Répartition des valeurs de l’impulsion dans un état stationnaire . . . . . 2752 Evolution de la fonction d’onde de la particule . . . . . . . . . . . . . . 2793 Perturbation apportée par une mesure de la position . . . . . . . . . . . 283BIII Etude du courant de probabilité dans quelques cas particuliers 2871 Expression du courant dans des régions où le potentiel est constant . . . 2872 Application aux problèmes de marches de potentiel . . . . . . . . . . . . 2883 Courant de probabilité des ondes incidente et évanescente, dans le casd’une réflexion sur une marche de potentiel à deux dimensions . . . 289CIII Ecarts quadratiques moyens de deux observables conjuguées 2931 Relation de Heisenberg pour P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2932 Paquet d’ondes “minimum” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294DIII Mesures portant sur une partie d’un système physique 2971 Calcul des prévisions physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2972 Signification physique d’un état produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . 2993 Signification physique d’un état qui n’est pas un produit tensoriel . . . . 300EIII L’opérateur densité 3031 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3032 Notion de mélange statistique d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3033 Cas pur. Introduction de l’opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . . 3054 Mélange statistique d’états (cas non pur) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085 Exemples d’utilisation de l’opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . 312FIII Opérateur d’évolution 3171 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172 Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319GIII Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg 321HIII Invariance de jauge 3251 Position du problème : potentiels scalaire et vecteur associés à un champélectromagnétique ; notion de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3252 Invariance de jauge en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 3263 Invariance de jauge en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 331JIII Propagateur de l’équation de Schrödinger 3391 Introduction. Idée physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3392 Existence et propriétés d’un propagateur K(2, 1) . . . . . . . . . . . . . 3403 Formulation lagrangienne de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . 343KIII Niveaux instables. Durée de vie 3471 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3472 Définition de la durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3483 Description phénoménologique de l’instabilité d’un niveau . . . . . . . . 349LIII Exercices 351MIII Etats liés dans un “puits de potentiel” de forme quelconque 3631 Quantification de l’énergie des états liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3632 Valeur minimale de l’énergie du niveau fondamental . . . . . . . . . . . 367NIII Etats non liés d’une particule en présence d’un puits ou d’unebarrière de potentiel de forme quelconque 3711 Matrice de transmission M(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3722 Coefficients de transmission et de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3763 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377OIII Propriétés quantiques d’une particule dans une structure périodique à une dimension 3791 Traversée successive de plusieurs barrières de potentiel identiques . . . . 3802 Discussion physique : notion de bande d’énergie permise ou interdite . . 3863 Quantification des niveaux d’énergie dans un potentiel de structure périodique ; effet des conditions aux limites . . . 388IV APPLICATION DES POSTULATS À DES CAS SIMPLES :SPIN 1/2 ET SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX 397A Particule de spin 1/2 : quantification du moment cinétique . . . . . . . 398B Illustration des postulats sur le cas d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . 405C Etude générale des systèmes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 416GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 427AIV Les matrices de Pauli 4291 Définition ; valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . 4292 Propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4303 Une base commode de l’espace des matrices 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . 431BIV Diagonalisation d’une matrice hermitique 2 × 2 4331 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4332 Changement d’origine pour le repérage des valeurs propres . . . . . . . 4333 Calcul des valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 435CIV Spin fictif 1/2 associé à un système à deux niveaux 4391 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4392 Interprétation de l’hamiltonien en termes de spin fictif . . . . . . . . . . 4393 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441DIV Système de deux spins 1/2 4451 Description quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4452 Prédiction des résultats de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448EIV Matrice densité d’un spin 1/2 4531 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4532 Matrice densité d’un spin parfaitement polarisé (cas pur) . . . . . . . . 4533 Exemple de mélange statistique : spin non polarisé . . . . . . . . . . . . 4544 Spin 1/2 à l’équilibre thermodynamique dans un champ statique . . . . 4565 Décomposition de la matrice densité sur les matrices de Pauli . . . . . . 457FIV Résonance magnétique 4591 Traitement classique ; référentiel tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . 4592 Traitement quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4623 Lien entre le traitement classique et le traitement quantique : évolution de hMi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4674 Equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467GIV Modèle simple pour la molécule d’ammoniac 4731 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4732 Fonctions propres et valeurs propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . 4753 La molécule d’ammoniac considérée comme un système à deux niveaux 482HIV Effets d’un couplage entre un état stable et un état instable 4891 Introduction. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4892 Influence d’un couplage faible sur des niveaux d’énergies différentes . . . 4903 Influence d’un couplage quelconque sur des niveaux de même énergie . . 491JIV Exercices 495V L’OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION 501A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501B Valeurs propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507C Etats propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514D Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 529AV Etude de quelques exemples physiques d’oscillateurs harmoniques5311 Vibration des noyaux d’une molécule diatomique . . . . . . . . . . . . . 5312 Vibration des noyaux dans un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5383 Oscillations de torsion d’une molécule : exemple de l’éthylène . . . . . . 5404 Atomes muoniques lourds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546BV Etude des états stationnaires en représentation {|xi}. Polynômes d’Hermite 5511 Les polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512 Les fonctions propres de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique . . . 554CV Résolution de l’équation aux valeurs propres de l’oscillateurharmonique par la méthode polynomiale 5591 Changement de fonction et de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5592 Méthode polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561DV Etude des états stationnaires en représentation {|pi} 5671 Fonctions d’onde dans l’espace des impulsions . . . . . . . . . . . . . . . 5672 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570EV L’oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions 5731 L’opérateur hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5732 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . 5743 Dégénérescence des niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576FV Oscillateur harmonique chargé placé dans un champ électrique uniforme 5791 Equation aux valeurs propres de H′(E ) en représentation {|xi} . . . . . 5802 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813 Utilisation de l’opérateur translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583GV Etats cohérents “quasi classiques” de l’oscillateur harmonique 5871 Recherche des états quasi classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5882 Propriétés des états |αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5923 Evolution d’un état quasi classique au cours du temps . . . . . . . . . . 5994 Exemple d’application : étude quantique d’un oscillateur macroscopique 601HV Modes propres de vibration de deux oscillateurs harmoniques couplés 6031 Vibrations des deux particules en mécanique classique . . . . . . . . . . 6032 Etats de vibration du système en mécanique quantique . . . . . . . . . . 609JV Modes de vibration d’une chaîne linéaire indéfinie d’oscillateurs harmoniques couplés ; phonons 6151 Etude classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6162 Etude quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6263 Application à l’étude des vibrations dans un cristal : les phonons . . . . 630KV Modes de vibration d’un système physique continu. Application au rayonnement ; photons 6351 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6352 Modes de vibration d’un système mécanique continu : exemple de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6363 Modes de vibration du rayonnement : les photons . . . . . . . . . . . . . 643LV Oscillateur harmonique à une dimension en équilibre thermodynamique à la température T 6511 Energie moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6522 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6543 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6554 Distribution de probabilité de l’observable X . . . . . . . . . . . . . . . 659MV Exercices 667VI MOMENTS CINÉTIQUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 673A Introduction : importance du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . 673B Relations de commutation caractéristiques des moments cinétiques . . . 675C Théorie générale du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678D Application au moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 709AVI Les harmoniques sphériques 7111 Calcul des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112 Propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716BVI Moment cinétique et rotations 7231 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7232 Etude succincte des rotations géométriques R . . . . . . . . . . . . . . . 7243 Opérateurs de rotation dans l’espace des états.Exemple d’une particule sans spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7264 Opérateurs de rotation dans l’espace des états d’un système quelconque 7335 Rotation des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7366 L’invariance par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740CVI Rotation des molécules diatomiques 7451 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7452 Rotateur rigide. Etude classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7463 Quantification du rotateur rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7474 Manifestations expérimentales de la rotation des molécules . . . . . . . 752DVI Moment cinétique des états stationnaires d’un oscillateur harmonique à deux dimensions 7611 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612 Classification des états stationnaires au moyen des nombres quantiques nx et ny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7653 Classification des états stationnaires en fonction de leur moment cinétique7674 Etats quasi classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771EVI Particule chargée dans un champ magnétique. Niveaux de Landau...7771 Rappels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7772 Propriétés quantiques générales d’une particule dans un champ magnétique7823 Cas où le champ magnétique est uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 785FVI Exercices 801VII PARTICULE DANS UN POTENTIEL CENTRAL. ATOMED’HYDROGÈNE 809A Etats stationnaires d’une particule dans un potentiel central . . . . . . . 810B Mouvement du centre de masse et mouvement relatif pour un système de deux particules en interaction . . . . . 819C L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 839AVII Systèmes hydrogénoïdes 8411 Systèmes hydrogénoïdes comprenant un électron . . . . . . . . . . . . . 8422 Systèmes hydrogénoïdes sans électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847BVII Exemple soluble de potentiel central : l’oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions 8511 Résolution de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8522 Niveaux d’énergie et fonctions d’onde stationnaires . . . . . . . . . . . . 854CVII Courants de probabilité associés aux états stationnaires de l’atome d’hydrogène 8611 Expression générale du courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 8612 Application aux états stationnaires de l’atome d’hydrogène . . . . . . . 862DVII Atome d’hydrogène plongé dans un champ magnétique uniforme.Paramagnétisme et diamagnétisme. Effet Zeeman 8651 Hamiltonien du problème. Terme paramagnétique et terme diamagnétique...8662 Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872EVII Etude de quelques orbitales atomiques. Orbitales hybrides 8791 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8792 Orbitales atomiques associées à des fonctions d’onde réelles . . . . . . . 8803 Hybridation sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8864 Hybridation sp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8885 Hybridation sp3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892FVII Niveaux de vibration-rotation des molécules diatomiques 8951 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8952 Résolution approchée de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 8963 Evaluation de quelques corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902GVII Exercices 9091 Particule dans un potentiel à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . . . 9092 Oscillateur harmonique à trois dimensions dans un champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909INDEX 911