Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I

254 pages

Français

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Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I , livre ebook

EDP Sciences - Jean Roux , Robert Roussarie

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Description

Cet ouvrage est une introduction élémentaire à la théorie des équations différentielles. Il est destiné à illustrer un cours classique sur les équations différentielles dans le cadre d'une licence de mathématiques, mais il peut également servir d'initiation aux notions de base indispensables aux applications.

Une première partie est consacrée à des pré- requis de calcul différentiel et de topologie différentielle : définition des termes et notions de base utilisées par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien que la topologie différentielle.
La deuxième partie est la matière d'un cours classique sur les équations différentielles. Les champs linéaires et les propriétés générales des trajectoires sont donc évidemment exposés. Mais, dans la tradition initiée par Henri Poincaré, on insiste aussi sur les aspects qualitatifs du comportement des solutions, avec l'introduction de la notion de flot d'un champ de vecteurs, qui joue un rôle fondamental car elle sert de base à l'étude essentielle des propriétés de récurrence et de stabilité des orbites. La notion d'application de Poincaré d'une orbite périodique est développée et quelques résultats importants de la théorie qualitative sont démontrés.

Les lecteurs trouveront un développement de cet ouvrage dans le tome II, publié dans la même collection (Vers la théorie des systèmes dynamiques).

Sujets

Sciences & Techniques

Mathématiques

Sciences formelles

Mathématiques générales

Sciences et techniques

Mathematics

Informations

Publié par	EDP Sciences
Date de parution	01 janvier 2012
Nombre de lectures	5
EAN13	9782759812141
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	8 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,3150€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Extrait

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

L3M1
Des équations
différentielles aux
systèmes dynamiquesI

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

AVEC ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE

Robert Roussarie et Jean Roux

DES ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
AUX SYSTÈMES DYNAMIQUES

Tome 1
Théorie élémentaire
des équations diﬀérentielles
avec éléments de topologie diﬀérentielle

Robert Roussarie et Jean Roux
Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture: La formule est l’expression de la diﬀérentielle d’une
application dans un cas particulier. La ﬁgure est une illustration du théorème de
Poincaré-Bendixson, avec le comportement en spirale de l’orbite par un pointx
non récurrent du champ.

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0512-9
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées
dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.
Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et
non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justiﬁées par le caractère
scientiﬁque ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et
L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec
l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,
75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Avant-Propos

TABLE DES MATIÈRES

Éléments de topologie diﬀérentielle

Préliminaires de calcul diﬀérentiel
1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Diﬀérentielle .
1.1.1Déﬁnitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. . . . . . . . . . . . .Expressions de la diﬀérentielle
1.1.3Composition des diﬀérentielles. . . . . . . . . . . . .
1.2. . . . . . . . . . . . . . . . .Formule des accroissements ﬁnis
1.3Théorème de l’inverse, diﬀéomorphisme. . . . . . . . . . . . .
1.4. . . . . . . . . . . . . . . .Théorème des fonctions implicites

Variétés et sous-variétés
2.1Variétés diﬀérentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1Déﬁnitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2Topologie quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .Exemples de variétés .
2.1.4Diﬀéomorphisme entre variétés. . . . . . . . . . . . .
n
2.2Sous-variété d’un ouvert deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. . .Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses
n
2.2.2Déﬁnition d’une sous-variété d’un ouvert deR. . . .
2.2.3. . . . . . . . . .Premiers exemples de sous-variétés .
2.2.4Espace tangent en un point d’une sous-variété. . . .
2.3Valeur régulière d’application diﬀérentiable. . . . . . . . . . .
2.3.1. . . . . . . .Équation cartésienne d’une sous-variété
2.3.2Existe-t-il beaucoup de valeurs régulières. . . . .? .

vii

3
3
3
7
9
10
10
14

19
19
20
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27
30
30
31
33
34
35
35
38

Des équations différentielles aux systèmes dynamiques

2.4

Compléments sur les variétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1Espace tangent à une variété. . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. . . . . . . . . .Plongement, immersion, submersion
2.4.3. . . . . . . . . . . . . . . .Distance sur une variété .
2.4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Transversalité .

Points singuliers de fonctions
3.1Dérivées partielles d’ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. . . . . .Déﬁnitions, notations et propriétés de base
3.1.2Approximation def. . . . .au voisinage d’un point
3.2. . . . . . . . .Points singuliers d’une fonction sur un ouvert .
3.2.1Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2Rappels sur les formes quadratiques. . . . . . . . . .
3.2.3Condition suﬃsante d’extrémalité. . . . . . . . . . .
3.3Point singulier d’une fonction sur une sous-variété. . . . . . .
3.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . .Déﬁnitions et exemples
3.3.2. . . . . . . . . . . . . .Multiplicateurs de Lagrange
3.3.3Le cas de la codimension 1. . . . . . . . . . . . . . .

Théorie élémentaire des équations diﬀérentielles

Généralités
1.1. . . . . . . . . . . . . . . .Déﬁnition des champs de vecteurs
1.2Image d’un champ par un diﬀéomorphisme. . . . . . . . . . .
1.3. . . . . . . . .Équation diﬀérentielle d’un champ de vecteurs
1.4. . . . . . . . . . . . . . . .Équations diﬀérentielles générales

42
42
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51

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83
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89

Champs de vecteurs linéaires93
2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93Étude théorique
2.2Résolution explicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2
2.3Les champs linéaires de vecteurs deR. . . . . . . . . . . . . 107

Propriétés générales des trajectoires111
3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Le principe du point ﬁxe
3.2. . . . . . . . . . . 113Existence et unicité locales des trajectoires
3.3Flot d’un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1Trajectoire maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.2. . . . . . . . . . . . 121Propriétés diﬀérentiables du ﬂot
3.3.3Groupe à 1-paramètre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.4127Équivalence à des champs de vecteurs à ﬂot complet
3.3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Exemples de ﬂots

Table des matières

Analyse qualitative des trajectoires135
4.1Champ sur une variété, intégrale première. . . . . . . . . . . 135
4.2Type topologique des trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3. . . . . . . . . . . . . . . . 142Théorème du voisinage tubulaire .
4.4. . . . . . . . . . . . . . . . 148Indice des points singuliers isolés .

Récurrence159
5.1Propriétés des ensembles limites. . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Orbites récurrentes
5.3Récurrence pour les champs de vecteurs d’un ouvert
de la sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3.1. . . . . . . . . . 172Préambule : le théorème de Jordan .
5.3.2Théorème de Poincaré-Bendixson. . . . . . . . . . . 179
5.3.3Applications du théorème de Poincaré-Bendixson .. . 181
5.3.4. . . . . . . . . 184Vers la théorie de Poincaré-Bendixson

Orbites et champs périodiques187
6.1Orbites périodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Section globale, suspension
6.2.1. . . . . . 197Section globale pour un champ de vecteurs
6.2.2. . . . . . . . . . . 198Suspension d’un diﬀéomorphisme .
6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 204Champs de vecteurs périodiques

Stabilité des trajectoires213
7.1. . . . . 214Stabilité d’un point singulier d’un champ de vecteurs
7.1.1Diﬀérents types de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1.2Théorèmes de stabilité .. . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 229Stabilité d’une orbite périodique
7.2.1Diﬀérents types de stabilité pour une orbite
périodique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.2.2Diﬀérents types de stabilité pour un point ﬁxe
de diﬀéomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2.3Relation entre la stabilité d’une orbite périodique
et celle de ses applications de Poincaré. . . . . . . . 232
7.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . 234Théorèmes de stabilité .

Bibliographie

Index

239

241

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

AVANT-PROPOS

La motivation initiale de cet ouvrage a été la transcription de cours donnés
oralement aux ingénieurs de la direction des Études et Recherches d’EDF. Depuis
la première mouture du texte, la maturation a été longue mais, citons Héraclite
(cinquième siècle avant notre ère), « Le temps est un enfant qui joue, en déplaçant
les pions ». Ces cours proposaient une introduction au calcul diﬀérentiel, quelques
éléments de la théorie qualitative des équations diﬀérentielles et quelques
prolongements sur des idées plus récentes concernant les systèmes dynamiques. Lorsqu’il
a été question de passer de l’exposé oral à une version écrite, il est apparu qu’il
serait bon d’en étoﬀer le contenu. Pour ce faire, nous avons utilisé la matière
d’un autre cours consacré aux équations diﬀérentielles, non publié jusqu’alors et
enseigné par le premier auteur au niveau de la licence de Mathématique à
l’université de Bourgogne. Dans l’intention de rendre le contenu plus autonome, nous
avons aussi décidé d’y adjoindre des prérequis sur le calcul diﬀérentiel ainsi que
des notions plus avancées de topologie diﬀérentielle. Les quelques aperçus sur les
systèmes dynamiques présentés lors des premiers cours oraux ont alors pu être
développés en une introduction plus conséquente à ce vaste sujet.

Nous sommes ainsi arrivés à un ouvrage structuré en deux tomes, avec comme
idée directrice de faire en sorte que le texte se suﬃse à lui-même et soit le plus
progressif possible. L’ensemble peut se lire et s’utiliser à plusieurs niveaux. On
peut se limiter au tome 1, comportant deux parties (I, II), pour trouver un cours
classique sur les équations diﬀérentielles, abordable dans le cadre de la licence
de Mathématique, ou une initiation à des notions de base indispensables aux
applications. Le tome 1 permet de rendre cette initiation autonome, indépendante
d’une formation universitaire en Mathématique. Le tome 2 est une ouverture vers
la théorie moderne des systèmes dynamiques. Il peut être utilisé dans le cadre
d’un master de Mathématique ou de Physique. Il peut aussi être employé avec
proﬁt par toute personne cherchant des compléments sur certains aspects récents
de la thé