MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 1 – Les torseurs, livre ebook

Ce premier manuel consacré à l’étude des torseurs se compose de deux parties.
La première partie, Notes de cours, met l’accent sur l’atout mathématique appelé torseur. Ce dernier joue un rôle central dans la modélisation de la mécanique du solide et présente le principe fondamental de la dynamique sous une forme particulièrement concise. Les notions d’invariants (scalaire et vectoriel), de torseurs particuliers (glisseur et couple) ainsi que la notion d’axe central y sont présentées.
Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.

Avant-propos 1

Partie A : notes de cours 7

1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Application linéaire symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . 16

1.3 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Champ antisymétrique (ou champ de moments) . . . . . . . . . . 28

3.5 Champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Théorème de Delassus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Éléments de réduction - Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Produit ou comoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Invariants d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1 Invariant scalaire ou automoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Invariant vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 Pas d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.3 Moment central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.4 Équation vectorielle de l’axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5 Interprétation géométrique – Représentation graphique de l’axe central . .. . . . . . . . . . . . . . 41

7.6 Détermination analytique de l’axe central . . . . . . . . . . . . . 42

7.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.1 Torseur glisseur ou torseur à résultante . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.3 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.4 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Décomposition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2 Décomposition centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10 Interprétation géométrique - Origine du mot torseur . . . . . . . . . . . 52

11 Classification des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12 Torseur associé à un ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13 Torseur associé à une densité de vecteurs ⃗ f(M) . . . . . . . . . . . . . 55

14 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Partie B : problèmes corrigés 61

Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Problème 1 : équation vectorielle et axe central d’un torseur . . . . . . . 63

Problème 2 : moment et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . 64

Problème 3 : comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Problème 4 : somme de trois glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Problème 5 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Problème 6 : somme de trois vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . 70

Problème 7 : somme de cinq glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Problème 8 : torseur défini par un champ de moments . . . . . . . . . . . 74

Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Problème 1 : détermination de la résultante d’un torseur . . . . . . . . . 78

Problème 2 : champ de moments dépendant d’un paramètre . . . . . . . 80

Problème 3 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Problème 4 : résultante et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 83

Problème 5 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 84

Problème 6 : somme de trois glisseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Problème 7 : somme de trois glisseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Problème 8 : combinaison linéaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . 90

Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Problème 1 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 95

Problème 2 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-I . . . . . . . 98

Problème 3 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-II . . . . . . 101

Problème 4 : décomposition centrale d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 103

Problème 5 : somme de deux torseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Problème 6 : somme de deux torseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Problème 7 : produit et somme d’un glisseur et d’un couple . . . . . . . . 110

Problème 8 : somme et produit de deux glisseurs . . . . . . . . . . . . . . 114

Annexes 117

Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Annexe 3 : diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Bibliographie 131

Index alphabétique 139