Mécanique analytique de Hamilton, livre ebook

Cet ouvrage s’articule autour de deux grandes parties, conçues pour offrir une immersion progressive et pédagogique dans l’étude du principe de Hamilton.

La première partie présente des notes de cours soigneusement élaborées, agrémentées d’applications pratiques, d’exemples variés et de conseils méthodologiques.

La seconde partie de l’ouvrage rassemble une sélection de problèmes résolus, organisés de manière à couvrir les principaux aspects du sujet. On y retrouve d’abord une exploration approfondie du formalisme de Hamilton, suivie d’une étude détaillée des transformations canoniques, avant de conclure avec une analyse des problématiques liées au formalisme de Hamilton-Jacobi. Cette approche progressive et structurée en fait un outil précieux pour quiconque souhaite maîtriser ces fondements essentiels de la mécanique analytique.

Avant-propos 3

Partie A : notes de cours 11

1 Formalisme canonique de Hamilton 13

1.1 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2 Extension du théorème fondamental aux variables passives . 17

1.2 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Équations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 À partir de la transformation de Legendre . . . . . . . . . . 20

1.3.2 Par différentiation de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3 À partir du principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Propriétés du hamiltonien et des équations canoniques . . . . . . . 23

1.5 Équations de Hamilton dans les différents systèmes de coordonnées . . . 25

1.5.1 En coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 En coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.3 En coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.4 En coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Principe variationnel de Hamilton modifié . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Transformations canoniques …53

2.1 Équations de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Transformation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3 Transformation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.1 Fonction génératrice de type 1 : F1 (qi,Qi, t) . . . . . . . . . 60

2.4.2 Fonction génératrice de type 2 : F2 (qi, Pi, t) . . . . . . . . . 61

2.4.3 Fonction génératrice de type 3 : F3 (pi,Qi, t) . . . . . . . . . 63

2.4.4 Fonction génératrice de type 4 : F4 (pi, Pi, t) . . . . . . . . . 66

2.5 Conditions de canonicité d’une transformation . . . . . . . . . . . . 69

2.5.1 Condition de la différentielle totale exacte . . . . . . . . . . 69

2.5.2 Condition de l’invariant bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5.3 Condition de l’invariance des crochets de Poisson . . . . . . 76

2.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.2 Propriétés des crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6.3 Invariance des crochets de Poisson dans une transformation canonique . . . . . .. . . 81

2.7 Équations canoniques en fonction des crochets de Poisson . . . . . . 89

2.8 Identité de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.9 Théorème de Jacobi-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3 Formalisme de Hamilton-Jacobi 105

3.1 Équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1 Sens physique de la fonction F2 (qi, Pi, t) . . . . . . . . . . . 108

3.1.2 Cas d’un hamiltonien stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.3 Sens physique de la fonction caractéristique . . . . . . . . . 116

3.1.4 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . . 117

3.2 Variables angle-action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.3 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Partie B : problèmes résolus 153

Recueil 1 : formalisme de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Problème 1 : chute d’une barre dans le champ de pesanteur . . . . . . . 155

Problème 2 : mécanisme formé d’une barre et deux charnières . . . . . . 161

Problème 3 : anneau coulissant sur un fil parabolique en rotation . . . . 167

Problème 4 : mouvement d’un anneau sur un cerceau en rotation . . . . 173

Problème 5 : anneau coulissant sur un cerceau tournant . . . . . . . . . 178

Problème 6 : double pendule soumis à l’action d’un ressort . . . . . . . 186

Problème 7 : système composé d’une barre et d’un ressort . . . . . . . . 193

Problème 8 : barre dont une extrémité est mobile sur un cerceau . . . . 200

Recueil 2 : transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Problème 1 : méthode de la différentielle totale . . . . . . . . . . . . . 213

Problème 2 : méthode des crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 216

Problème 3 : canonicité par la méthode de la différentielle totale . . . . 220

Problème 4 : canonicité par les deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . 222

Problème 5 : fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Problème 6 : oscillateur anharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Problème 7 : oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Problème 8 : équations de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Recueil 3 : formalisme de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Problème 1 : potentiel électrostatique d’une particule chargée . . . . . . 234

Problème 2 : particule en chute libre dans un champ de gravitation . . . 236

Problème 3 : projectile dans le champ gravitationnel . . . . . . . . . . . 241

Problème 4 : particule dans un champ de force centrale . . . . . . . . . 245

Problème 5 : atome d’hydrogène dans un champ électrique uniforme . . 251

Problème 6 : problème de Kepler par les variables angle-action . . . . . 257

Problème 7 : oscillations d’un disque dans un plan . . . . . . . . . . . . 264

Problème 8 : mouvement d’une particule dans un ellipsoïde de révolution 273

Annexes 281

Annexe 1 : hamiltonien en coordonnées paraboliques . . . . . . . . . . . 282

Annexe 2 : hamiltonien en coordonnées elliptiques . . . . . . . . . . . . . 286

Bibliographie 289

Index alphabétique 299