MÉCANIQUE ANALYTIQUE DE LAGRANGE, livre ebook

Cet ouvrage s’organise en deux parties distinctes.
La première, dédiée aux notes de cours, présente un principe incontournable de la mécanique analytique : le principe des puissances virtuelles. Ce principe, et les équations de Lagrange qui en découlent, forment les bases essentielles de la mécanique lagrangienne. Pour rendre ces concepts accessibles, le texte s’enrichit d’applications concrètes, d’exemples variés et de conseils méthodologiques, offrant ainsi une approche à la fois rigoureuse et pédagogique.
La seconde partie rassemble une sélection de problèmes résolus, dont une grande partie est originale. Structurés en trois recueils de cinq problèmes chacun, ces exercices permettent une progression adaptée : des sujets simples pour débuter, des cas plus ardus pour approfondir, et enfin des problèmes type examen pour consolider la maîtrise des équations de Lagrange. Un outil idéal pour apprendre et s’exercer en mécanique analytique.

Avant-propos 3

Partie A : notes de cours 11

1 Paramétrage et liaisons 13

1.1 Paramétrage d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Cas d’un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.3 Cas d’un système matériel (Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.4 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Paramétrage strict-Paramétrage surabondant . . . . . . . . 19

1.2.2 Liaisons holonome, non holonome et semi-holonome . . . . . 21

1.2.3 Liaison bilatérale-Liaison unilatérale . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4 Liaison indépendante du temps-Liaison dépendante du temps 25

1.2.5 Liaison principale-Liaison complémentaire . . . . . . . . . . 25

1.2.6 Nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Vitesses réelles et vitesses virtuelles 37

2.1 Champ de vitesses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Champ de vitesses virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2 Expression du CVV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . 44

2.3.1 Système matériel (Σ) soumis à une liaison holonome . . . . . 45

2.3.2 Système matériel (Σ) soumis à une liaison non holonome . . 50

2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Principes des puissances virtuelles 63

3.1 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Puissance virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Calcul pratique de la puissance virtuelle d’un système . . . . . . . . 70

3.3.1 Puissance virtuelle d’un point matériel . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Puissance virtuelle d’un solide indéformable . . . . . . . . . 71

3.3.3 Puissance virtuelle d’un système matériel . . . . . . . . . . . 72

3.4 Fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.3 Fonction de force associée à la pesanteur . . . . . . . . . . . 73

3.4.4 Fonction de force associée à un ressort élastique . . . . . . . 74

3.5 Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6.2 Axiome d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.3 Intérêt de la méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . 79

3.7 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Équations de Lagrange 93

4.1 Mouvements virtuels pour l’étude des systèmes de solides . . . . . . 95

4.1.1 Mouvement virtuel rigidifiant par morceaux . . . . . . . . . 95

4.1.2 Mouvement virtuel compatible avec les liaisons . . . . . . . . 98

4.1.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1 Puissance virtuelle des quantités d’accélération . . . . . . . . 100

4.2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . 102

4.2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Intégrales premières du mouvement 129

5.1 Intégrales premières linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.1 Intégrale première cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.2 Intégrale première de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2 Énergie cinétique paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 Théorème d’Euler relatif aux fonctions homogènes . . . . . . . . . . 138

5.3.1 Fonction homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.2 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.4 Lemme de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.5 Intégrales premières quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.5.1 Intégrales premières de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.5.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.5.3 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 152

5.6 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6 Équilibre et stabilité 165

6.1 Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.2 Équilibre pour un seul paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.3 Équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.4 Équilibre strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.2 Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . 168

6.2.1 Cas général : utilisation explicite des équations de mouvement du système . . . . .. . . 168

6.2.2 Cas particulier : écriture directe des équations d’équilibre . . 170

6.3 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.3.1 Stabilité au sens de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.3.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.3.3 Étude pratique de l’équilibre et de la stabilité lorsqu’il y a une fonction de force . . .. . . . 179

6.4 Linéarisation des équations de Lagrange autour d’une position d’équilibre. . . . . . . 187

6.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.3 Stabilité de l’équilibre autour de qe : théorème de Liapunov . 188

6.5 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Partie B : recueils d’examens corrigés 201

Recueil d’examens 1 : pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Épreuve 1 : système composé d’une tige soudée à une demi-sphère . . . 203

Épreuve 2 : stabilité d’un cerceau autour d’une nutation uniforme . . . . 208

Épreuve 3 : étude d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 215

Épreuve 4 : mouvement d’une sphère pleine sur un plan fixe . . . . . . . 225

Épreuve 5 : disque roulant sans glissement sur un plan incliné . . . . . . 233

Recueil d’examens 2 : pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Épreuve 1 : système composé d’un disque, d’une tige et d’un anneau . . 243

Épreuve 2 : système composé d’un disque et d’une tige . . . . . . . . . 248

Épreuve 3 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . . 257

Épreuve 4 : mouvement d’une sphère sur une tige en rotation . . . . . . 266

Épreuve 5 : mouvement d’un ellipsoïde sur un plan lisse . . . . . . . . . 274

Recueil d’examens 3 : pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Épreuve 1 : glissement sans frottement d’une plaque triangulaire . . . . 284

Épreuve 2 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Épreuve 3 : étude d’une barre assujettie à deux rotations planes . . . . . 310

Épreuve 4 : étude d’un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 323

Épreuve 5 : mouvement d’un culbuto sur un plan tournant . . . . . . . 335

Bibliographie 353

Index alphabétique 361