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Niveau: SupérieurLycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Vocabulaire sur les ensembles et applications 1 Notions de logique et langage mathématique 1.1 Généralités sur les propositions 1.1.1 Vocabulaire Définition 1.1. Une proposition est un énoncé concernant un objet ou une relation entre objets mathématiques. Exemples de propositions : – « la fonction f : R? R, x 7? x3 est croissante », – « la fonction g : R? R, x 7? x sin(x) est bornée ». – « si x2 = y2 alors x = y ». – P (n) = « L'entier naturel n est pair et n ≥ 6 ». – « pi est un nombre rationnel si et seulement si 1 + pi est un nombre rationnel ». On affecte aux propositions une valeur de vérité : une proposition est soit vraie soit fausse (c'est le principe du tiers exclu). Le travail du mathématicien est de déterminer si une proposition est vraie ou fausse. Il procède par déduction à partir de propositions qu'il sait être justes ou de propositions admises comme vraies (un axiome). La logique mathématique est l'étude des règles que doit respecter une déduction correcte. 1.1.2 Les connecteurs logiques A partir d'une ou plusieurs propositions, on peut construire d'autres propositions à l'aide de la négation et des connecteurs ou, et.logique mathématique propositions initiales quantificateur universel implication quantificateur existentiel propriétés élémentaires dans l'écriture de propositions implication réciproque assertions de la propriété
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Vocabulaire
Généralités sur les propositions
Exemples de propositions : 3 – « la fonctionf:R→R, x7→xest croissante », – « la fonctiong:R→R, x7→xsin(x)est bornée ». 2 2 – « six=yalorsx=y». –P(n)= « L’entier naturelnest pair etn≥6». – «πest un nombre rationnel si et seulement si1 +πest un nombre rationnel ». On affecte aux propositions une valeur de vérité : une proposition est soit vraie soit fausse (c’est le principe du tiers exclu).
Mathématiques
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Définition 1.1.Une proposition est un énoncé concernant un objet ou une relation entre objets mathématiques.
Les connecteurs logiques
L’implication correspond au raisonnement classique : "si...alors" ; il se définit de la manière suivante :
Notions de logique et langage mathématique
Vocabulaire sur les ensembles et applications
Le "travail" du mathématicien est de déterminer si une proposition est vraie ou fausse. Il procède par déduction à partir de propositions qu’il sait tre justes ou de propositions admises comme vraies (un axiome). La logique mathématique est l’étude des règles que doit respecter une déduction correcte.
1.1.1
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1.1.2
A partir d’une ou plusieurs propositions, on peut construire d’autres propositions à l’aide de la négation et des connecteursou,et. Définitions 1.2. ¯ •SiPest une proposition, on appelle « nonP» (ouP) la négation deP. •SiPetQsont des propositions, on peut considérer : – la proposition «PouQ»qui est vraie lorsqu’au moins une des deux propositionsP,Qest vraie ; – la proposition «PetQ»qui est vraie lorsque les deux propositionsPetQsont vraies ;
Ecrire la négation de la propositionP(n)de l’exemple suivant la défintion 1.
Les connecteursouetetse comportent vis à vis de la négation de la manière suivante : Propriétés 1.3. •les propositions « non(PetQ)» et «(nonP)ou(nonQ);»ont les mmes valeurs de vérité •les propositions « non(PouQ)» et «(nonP)et(nonQ)»ont les mmes valeurs de vérité ; •la proposition « (non P)etP; la proposition «»est toujours fausse (non P)ouP»est toujours vraie.
Exercice 1.
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Définitions 1.4.SoitPetQdes propositions. •La propositionP⇒Q(PimpliqueQ) est définie par «(nonP)ouQ». •La propositionP⇔Q(Pest équivalent àQ) est définie par : «P⇒QetQ⇒P».
Voyons quelques propriétés élémentaires dans l’écriture de propositions à l’aide de connecteurs :
Propriétés 1.5.SoitP,QetRdes propositions. On dispose des règles suivantes : •(non (non(P) )⇔P. •(PouQ) ouR⇔Pou (QouR)⇔PouQouR. •Pet (QouR)⇔(PetQ) ou (PetR). •mmes règles que les précédentes en échangeantouetet.
1.1.3
Utilisations de l’implication
La relationP⇒Qsignifie que lorsquePest vraie alorsQest vraie. On peut également dire : •siPalorsQ; •PdoncQ; •Qest une conséquence deP,Qrésulte deP... On dit quePest la propositionsuffisanteetQla propositionnécessaire.
L’implication réciproque est la propriétéQ⇒P.
Nous allons voir dans cette partie quelques propriétés de l’implication. Ces propriétés sont souvent utilisées pour aboutir à des démonstrations, i.e. obtenir qu’une proposition est vraie à partir d’autres propositions (théorèmes du cours, hypothèses d’un exercice...) que l’on sait tre vraies.
Propriétés 1.6. 1. SiPest vraie etP⇒Qest vraie, alorsQest vraie. 2. Transitivité de l’implication. Etant données des propositionsP,QetR, nous avons :
[(P⇒Q)et(Q⇒R)]⇒(P⇒R).
3. Contraposée. Etant données des propositionsPetQ, nous avons :
(P⇒Q)⇔(nonQ⇒nonP).
Exemple : Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleI⊂Retx0∈I. Considérons les propriétésP: «fest dérivable enx0» etQ: «fest continue enx0». Nous savons queP⇒Qest vraie. La contraposéenon Q⇒non Pest donc vraie (sifn’est pas continue enx0alors elle n’est pas dérivable enx0). La réciproqueQ⇒Pest fausse : il existe des fonctions qui sont continues sans tre dérivables (exemple : la valeur absolue en0).
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1.1.4
Tables de vérité
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Il est intéressant d’étudier les valeurs de vérité des propositions construites à partir de propositions initiales. On indique dans unetable de véritéles valeurs de vérité d’une proposition à partir des valeurs de vérité des propositions initiales.
On attribue la valeur1au caractère « vrai »et la valeur0au caractère « faux ».
Exemples :
Exercice 2.
Exercice 3.
1.2
1.2.1
P 0 1
¯ P 1 0
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PouQ 0 1 1 1
P 0 0 1 1
Q PetQ 0 1 0 1
Vérifier à l’aide de tables de vérité les assertions de la propriété 1.3.
Ecrire les tables de vérité des propositions «P⇒Q» et «P⇔Q».
Les quantificateurs
Généralités
Les quantificateurs sont des symboles permettant d’écrire des énoncés mathématiques de manière plus synthétique :
• ∀: quantificateur universel. Il signifie "quel que soit", "pour tout"... • ∃: quantificateur existentiel. Il signifie "il existe (au moins un)", "il y a (au moins) un "...
+ 2 Exemples.∀y∈R,∃x∈R, y=x;∃x∈R,tel quef(x) = 1qui s’écrit aussi :∃x∈R, f(x) = 1.
Exercice 4. majorée. »
Ecrire à l’aide de quantificateurs la proposition suivante : « L’applicationf:R→Rest
Exercice 5.?Laquelle des deux propositions ci-dessous est juste –∀x∈R, f(x)g(x) = 0⇒(∀x∈R, f(x) = 0)ou(∀x∈R, g(x) = 0) –∀x∈R, f(x)g(x) = 0⇒ ∀x∈R,(f(x) = 0)ou(g(x) = 0) Attention, lorsqu’on change l’ordre deux quantificateurs∀et∃dans un énoncé, on change le sens de l’énoncé.
Exercice 6.?Laquelle des deux propositions ci-dessous est juste 1. «∃n∈N,∀m∈N, m≤n». 2. «∀m∈N,∃n∈N, m≤n» Par contre, on peut intervertir l’ordre de deux quantificateurs identiques sans changer le sens de la proposition.
Exemple :∀x∈R,∀y∈R,|x+y| ≤ |x|+|y|peut s’écrire∀y∈R,∀x∈R,|x+y| ≤ |x|+|y|.
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1.2.2
Négation
Mathématiques
NotonsP(x)une proposition dépendante dex.
Négation d’une proposition universelle : •soitP: «∀x∈E, P(x)» ;est vraie •non Ps’écrit : «∃x∈E,tel queP(x)» ;est fausse
Négation d’une proposition existentielle : •soitP: «∃x∈E,tel queP(x)» ;est vraie •non Ps’écrit : «∀x∈E, P(x)est fausse » ;
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Exemple.Soitf:R→Rune fonction. Le contraire de la proposition «∃x∈R,tel quef(x)>0» est «∀x∈R, f(x)≤0».
Exercice 7.Ecrire à l’aide de quantificateurs la négation des propositions suivantes : 1. La fonctionf:R→Rest majorée. 2. la fonctionfest nulle sur l’intervalle]0; +∞[ 3.∀x∈R,∃y∈R, f(x)> f(y). 4.∀ε >0,∃α >0,(|x| ≤α⇒ |f(x)| ≤)
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Notions sur les ensembles
Nous ne donnerons pas de définition précise de la notion d’ensemble. On se contentera d’énoncer quelques règles d’utilisation.
2.1
Vocabulaire
Un ensemble est une collectiond’éléments. On peut le définir : •enextension(en énonçant la liste de ces éléments). n o √ iπ Exemples :E=a, b,3, e,X={2n+ 1, n∈N}. •encompréhension(en donnant une propriété caractéristique de ces éléments). 2 Exemples :Fest l’ensemble des nombres réelsxsolution de l’équationx−x−2 = 0;Gest l’ensemble des entiers pairs supérieurs à7. Passer d’une description à une autre d’un mme ensemble est un travail fréquent en mathématiques. Par exemple, dans l’exemple précédent, on peut également écrireF={2,−1}.
La relationd’appartenanced’un élément à un ensemble se notex∈E. Sa négation se notex /∈E.
L’ensemble qui ne contient aucun élément est noté∅: c’estl’ensemble vide.
2.2
Sous-ensembles
La relationd’inclusionse noteF⊂E. Elle signifie «x∈F⇒x∈E». Sa négation s’écrit «∃x∈ F,tel quex /∈E».
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Pour montrer une inclusionF⊂E, on procède souvent de la manière suivante : on prend un élément quelconque deF(on écrit « soitx∈F») et on essaie de vérifier qu’il s’agit d’un élément deE.
Exemple :inclusions d’ensembles de nombres :N⊂Q⊂R⊂C⊂H.
Propriétés 2.1.SoitE,FetGtrois ensembles. 1. SiE⊂FetF⊂GalorsE⊂G. 2.F=Gsi et seulement siF⊂GetG⊂F.
La dernière affirmation est souvent très utile pour montrer l’égalité entre deux ensembles ; on dit qu’on procède pardouble inclusion.
Définition 2.2.SoitEun ensemble. On désigne parP(E)l’ensemble des sous-ensembles deE(on dit aussi ensemble des parties deE).
Exemple :SoitE={a, b}. AlorsP(E) ={∅,{a},{b}, E}.
2.3
Opérationssurlesensembles
SoitEun ensemble etAetBdeux sous-ensembles deE. c 1. Le complémentaire deAdansEse noteE\AouAou encore{EA. Par définition :
E\A={x∈E, x∈/ A}.
2. La réunion deAetBse noteA∪B. Par définition :
A∪B={x∈E, x∈Aoux∈B}.
3. L’intersection deAetBse noteA∩B. Par définition :
A∩B={x∈E, x∈Aetx∈B}.
Propriétés 2.3.SoitA,BetCtrois sous-ensembles deE. Voici quelques règles de calcul (à com-pléter) :
A∩B=B∩A A∩E= A∩ ∅= A∩(B∩C) = A∩(B∪C) =
Avec le complémentaire :
c c (A) = A⊂B⇒ c (A∩B) = c (A∪B) =
5
A∪B=B∪A A∪E= A∪ ∅= A∪(B∪C) = A∪(B∩C) =
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SoitEetFdeux ensembles. 4. Le produit cartésien deEetFest l’ensemble notéE×Fdéfini par : E×F={(x, y), x∈Eety∈F} On peut également former le produit cartésien d’une famille quelconque d’ensembles. Par exemple, on est souvent amené à considérer le produit cartésien suivant : n E=E×E×...×E | {z } nfois C’est l’ensemble desn-uplets d’éléments deE.
2.4
Exercices
c Dans les exercices suivantsA,BetCdésignent des parties d’un ensembleEetXle complémentaire deX dansE.
Exercice 8.On considère les ensembles suivants :E=R;A={−1,1};B={x∈R,|x|>1}et C=]−1; 1[. Expliciter des relations entreA,BetC.
Exercice 9.SoitE={x, y, z}. 1. DécrireP(E). 2. SoitF={a, b}. DécrireE×F.
c c Exercice 10.Dans chacun des cas ci-dessous, décrire les sous-ensemblesA , B,A∩B, A\B, B\A. 2 1.E=R, A={x∈R|x+ 2x−3<0}, B={x∈R|x >0}. 2.E=C, A={z∈C:|z| ≤1}, B={z∈C:Re(z)<1}.
Exercice 11.Parmi les assertions ci-dessous déterminer puis démontrer celles qui sont vraies (sinon, donner un contre-exemple). 1. SiA⊂CetB⊂CalorsA∪B⊂C, 2.A∩B=A∩C⇒B=C, 3.A∪B=A∪C⇒B=C, 4.A∩(B∪C) =A∩B⇒A∩C=∅, 5.A⊂B⇔A∪B=B, 6.A∩B=A∪B⇔A=B.
Exercice 12.
Montrer l’affirmation suivante :(A∩B⊂A∩C
Exercice 13.Simplifier les expressions suivantes : c 1.A∩(A∪B), c c 2.A∪(A∪B), c c c 3.A∪(A∩B)∪(A∩B∩C).
et
A∪B⊂A∪C)⇒
Exercice 14.Résoudre les deux équations suivantes d’inconnueX⊂E: 1.A∪X=B, 2.A∩X=B.
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B⊂C.
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3.1
Mathématiques
Notions sur les applications
Vocabulaire
Une applicationf:E→Fest la donnée : 1. d’un ensemble de départE; 2. d’un ensemble d’arrivéeF; 3. d’un procédéfqui à tout élément deEassocie un élément deF. Siy∈Fest associé àx∈Epar ce procédé on note :
y=f(x)
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On dit que : •yest ...................... dexparf. •xest un ....................... deyparf. Attention :on ne doit pas parler de "la fonctionf(x)" puisquef(x)est un élément deF. On utilise la notation : f:E→F x7→f(x) ou s’il n’y a pas d’ambiguité surEetF:f:x7→f(x).
Deux fonctionsfetgsont égales si elles ont le mme ensemble de départE, le mme ensemble d’arrivéeFet pour toutx∈E,f(x) =g(x). Dans ce cas on écritf=g. E On noteFl’ensemble des applications deEversF.
Définir une application peut se faire de différentes manières : 3 1. A l’aide de procédés algébriques. Exemples :f:Z→Zdéfinie parf(n) =n−6n+ 1;g:R→R 1 définie parg(x) =√ ∙ ∙ ∙ 2 1 +x 2. Par des méthodes plus implicites. Exemples : la partie entièreE:R→Zest définie de la manière suivante : pour toutx∈R,E(x)est le plus grand entier relatifn∈Ztel quen≤x < n+ 1; Z x 2 −t F(x) =e dt.... 0 Lorsque le domaine de définition n’est pas spécifié, on parle plutôt de fonction. ln(x) Exemple:h:x→ √est une fonction de la variable réelle. Un (le plus grand) domaine de 2 1−x définition possible est ..... .
3.2
Image,imageréciproque
Définition 3.1.Soitf:E→FetA⊂E. On appelle image (directe) deAparfle sous-ensemble deFnotéf(A)défini par :
f(A) ={y∈F,tel qu’ il existex∈Eavecy=f(x)}
L’ensemblef(A)est l’ensemble des images parfd’éléments deA. ∗ Exemple.exp(R) =R. +
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Définition 3.2.Soitf:E→FetB⊂F. On appelle image réciproque deBparfle sous-ensemble −1 deEnotéef(B)défini par :
−1 f(B) ={x∈E,tel quef(x)∈B}
−1 L’ensemblef(B)est l’ensemble des éléments deEdont l’image est dansB. 2−1 Exemple.Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x. Alorsf([1,4]) = [−2,−1]∪[1,2].
3.3
Composition
E F SoitE,F,Gtrois ensembles et deux applicationsf∈Fetg∈G. Autrement dit on a le schéma :
f g E−→F−→G
La composée defetgse noteg◦f. C’est l’application deEversGdéfinie par :
∀x∈E, g◦f(x) =g(f(x)).
L’application identité d’un ensembleEvers lui-mme est notéeIdEet définie par :
∀x∈E, IdE(x) =x.
Soitf:E→F. Alorsf◦IdE=fetIdF◦f=f.
Définition-propriété 3.3.Soit une applicationf:E→F. Supposons qu’il existe : •g:F→Etelle queg◦f=IdE, •h:F→Etelle quef◦h=IdF. −1−1 Alorsg=h. Cette application s’appelle la réciproque defet se notef. On af:F→E.
Nous avons alors la relation :
Nous pouvons également écrire :
3.4
( y=f(x) x∈E
−1 ∀x∈E, f(f(x)) =x
Injection et surjection ; bijection
Voir chapitre 0.
⇔
et
8
( −1 f(y) =x y∈F
−1 ∀y∈F, f(f(y)) =y
