Niveau: Supérieur
EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous les candidats Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn(x)= xne?x . On noteCn sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ?? i , ?? j ) du plan. PARTIE A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbeCk où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbeC3. La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ( 4 5 , 0 ) . x y C3 Ck Tk !i !j AO 1. a. Déterminer les limites de la fonction f1 en ?∞ et en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1. c. À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2. 2. a. Démontrer que pour n ! 1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. b. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x, f ?n(x)= x n?1(n?x)e?x .
- droites d'équations respectives
- tangente tk
- puisque lim
- courbe cn
- axe des abscisses
- équation de tk
- point de coordonnées