ÉNONCÉ On considère un carré ABCD de côté a Soit E un point fixe de BC Montrer qu'il existe un point F de CD tel que le périmètre du triangle CFE soit égal 2a

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
ACADÉMIE de VERSAILLES ÉNONCÉ On considère un carré ABCD de côté a. Soit E un point fixe de ]BC[. 1 - Montrer qu'il existe un point F de ]CD[ tel que le périmètre du triangle CFE soit égal à 2a. 2 - Quel est alors la mesure de l'angle ? SOLUTION 1 Elément de solution (fourni par l'équipe académique) « Le périmètre du triangle CFE se trouve être le demi-périmètre du carré. La figure ci-dessous indique comment on peut tenir compte, par une symétrie adaptée, de cette particularité. » Développement possible - par Henri BAREIL - : Effectivement la symétrie par rapport à O puis le rabattement de [DE'] en [DE1] fournissent : - d'une part : CE + CE1 = 2a (1) - d'autre part : la correspondance des triangles grisés dans une rotation (A, 90°) (2). On peut, d'ailleurs, remplacer l'utilisation de cette rotation par celle de l'égalité des triangles grisés (2ème cas d'égalité, … ) On déduit de la conjugaison de (1) et de (2), que CE + CE1 = 2a, donc FE = FE1 ce qui, compte tenu de AE = AE1, équivaut à « (AF) est la médiatrice de [EE1] ». EAF Académie de Versailles 116 Olympiades académiques de première - 2002 A B CD E F E' O E1

• considérations de géométrie élémentaire


• équipe académique


• joli problème de géométrie


• intervention du demi-périmètre de cfe


• point fixe


• périmètre du triangle cfe


• calcul algébrique


• rédaction rigoureuse des solutions


• commentaires par l'équipe de rédaction de la brochure