Modèles exactement résolus , livre ebook

Travaux de
Michel GAUDIN
CEA Saclay - Service de Physique Théorique
Modèles exactement
résolus
Avenue du Hoggar
Zone Industrielle de Courtabmf
B.P. 112
F-91944 Les Ulis cedex A, France Document de couverture :
La translation T ' = (R,R3R,R2R3)2 et le couloir associé. La trajectoire pentagonale singulière
correspondant à l'axe du couloir.
M. Gaudin, figure 3 p.407 dans "Réduction du problème du billard quantique triangulaire".
ISBN : 2-86883-264-4
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O Les Editions de Physique 1995
Les Editions de Physique
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Serveur: http://www.ed-phys.fr Préface
A l’occasion des 60 ans de Michel Gaudin, les membres du Service de Physique Théorique de
Saclay ont voulu lui rendre hommage. Ceux qui ont été tant marqués par son originalité et sa
curiosité intellectuelle ont pensé que la meilleure façon de l’honorer était d’offrir aux physiciens
une synthèse de son œuvre scientifique.
Michel Gaudin, ingénieur des Ponts, est entré au CEA en 56 grâce à G. Vendryès pour y
travailler deux ans en Neutronique expérimentale. Après la session des Houches de 58, il entre
finalement au service de physique théorique dirigé alors par C. Bloch, service où il aura effectué
toute sa carrière à l’exception d’une année chez C.N. Yang à l’université de Stony Brook en
1970.
Ce recueil contient essentiellement ce qu’on appelle, pour être bref, des solutions exactes à
des problèmes de physique dont la formulation est simplifiée en un modèle. Par là, j’entends
que l’on peut, presque toujours, s’intéresser au sujet traité sans être un spécialiste. Sa lecture
nécessite néanmoins certaines connaissances de physique et de mathématiques, et peut conduire
à consulter des ouvrages de référence. Je ne connais pas d’article de Michel Gaudin qui ne m’ait
appris une méthode d’analyse ou une technique de raisonnement, et dans tous les domaines ses
travaux m’ont apporté l’éclairage profondément vivifiant d’un physicien imprégné de culture
classique. Son style presque littéraire peut surprendre, il s’accorde avec une approche artisanale
des problèmes et il faut, pour le lire, faire l’effort de suivre le cheminement exigeant et fécond
sa pensée. Je souhaite que cet ouvrage puisse être une source d’inspiration en donnant de
l’exemple d’une personnalité de la physique française parmi les plus créatives, bien que restée
fidèle à elle-même en se tenant à l’écart des modes. Je crois qu’il n’est pas exagéré d’ajouter
que certains des articles que nous reproduisons participent à des démarches originales qui ont
ouvert des voies en physique théorique et en mathématiques. Ils ont été regroupés dans cinq
chapitres :
Le premier traite des propriétés statistiques des ensembles de matrices sur lesquelles M.
Gaudin a travaillé durant ses premières années à Saclay. Les articles contiennent entre autres
la dérivation de la loi limite des espacements de niveaux.
Le deuxième chapitre est consacré à la mécanique statistique. Deux articles en particulier
concernent les propriétés d’un gaz de particules qui se repoussent selon les lois de l’électrosta-
tique à deux dimensions. Le troisième chapitre regroupe les travaux sur les systèmes quantiques intégrables qui ont
occupé leur auteur pendant une partie importante de sa carrière. I1 commence par sa thèse non
publiée, jusqu’ici, consacrée à l’étude d’un modèle de fermions en interaction. On y trouvera en
outre ses fameux résultats sur la normalisation des états de Bethe, les propriétés thermodyna-
miques de la chaîne XXZ ainsi que l’introduction de la méthode algébrique pour diagonaliser
une classe d’Hamiltoniens de spin.
Le quatrième chapitre rassemble des travaux sur des modèles non-intégrables, soit résolus
complètement, soit réduits jusqu’à un certain point. Un exemple est le problème du spectre du
Laplacien dans un triangle.
Le dernier chapitre contient un article non publié qui développe un algorithme pour calculer
un Lagrangien effectif de fermions couplés à un champ de jauge.
Je remercie chaleureusement M. A. Landesman et Mme J. Berger pour tout le soin qu’ils
ont apporté à la préparation et à l’édition de ce livre.
Je terminerai en évoquant le souvenir de Claude Itzykson. Sa haute considération pour
l’oeuvre de M. Gaudin l’avait conduit à en encourager vivement la publication. Survenue pen-
dant la préparation de cet ouvrage, sa mort, qui nous laisse profondément choqués, est une
perte immense pour la physique française.
V. Pasquier Table des matières
A. Ensembles de matrices 1
On the Density of Eigenvalues of a Random Matrix 3
Sur la loi limite de l’espacement des valeurs propres d’une matrice aléatoire 13
à un paramètre d’ensembles unitaires Une famille 25
Calculation of a Partition Function Defined in the Statistical Theory of Nuclear Reactions 57
B. Mécanique statistique 71
Sur le développement de la grande fonction de partition pour des systèmes de 73
particules identiques
Gaz Coulombien discret à une dimension 93
L’isotherme critique d’un plasma sur réseau ( p = 2, d = 2, n = 2) 105
Les premiers termes de l’énergie libre dans le modèle de Feynman pour la transition h 121
Méthode d’intégration sur les variables d’énergie dans les graphes de la théorie des
perturbations 125
C. Systèmes intégrables 153
Thèse soutenue le 2 1 Novembre 1967 (Université Paris):
Étude d’un modèle à une dimension pour un système de fermions en interaction 155
Détermination du spectre d’énergie 155
1. Introduction 155
2. Spin total et type de symétrie [14] 159
3. Forme générale d’une solution élémentaire 160
4. Les conditions de symétrie 161
5. Les aux limites 165
6. Paramétrisation des ensembles (k) par l’ensemble (q) 168
7. Les coefjcients de la fonction d’onde dans le secteur initial 170
8. Le cas du spin S = O 174
175 9. Le cas général de spin S
I O. Caractère complet de la solution 178 Quelques propriétés de 1 ’état fondamental 185
11. Etude des équations couplées 185
12. Nature du gaz attractif 190
13. Voisinage de V = O à VolumeJni 196
14. Énergie de l’état fondamental de spin donné : cas attractif 200
15. de (spin O) : cas attractif 204
16. Énergie de l’état (spin O) : cas répulsv 211
17. Excitations élémentaires 214
18. Conclusion 22 1
Appendices 223
Etats propres et valeurs propres de 1’Hamiltonien d’appariement 247
Un système à une dimension de fermions en interaction 279
Boundary Energy of a Bose Gas in One Dimension 28 1
Bose Gas in One Dimension. I. The Closure Property of the Scattering Wavefunctions 289
II. Orthogonality of the Scattering States Bose Gas in One 293
Thermodynamics of the Heisenberg-king Ring for A 2 1 297
Diagonalisation d’une classe d’Hamiltoniens de spin 301
Matrices R de dimension infinie 3 13
The Periodic Toda Chain and a Matrix Generalization of the Bessel Function
Recursion Relations 323
Une preuve de la relation étoile-triangle du modèle elliptique ZN de Zamolodchikov 333
D. Modèles exacts non intégrables 345
Solution exacte d’un probleme modele à trois corps. Etat lié 347
Sur le problème de deux ou trois électrons en présence d’un moment localisé 363
Spectre du noyau intégral (x2 +y2 +l)-’ 389
Réduction du problème du billard quantique triangulaire 403
E. Divers 417
Algorithme invariant pour le développement d’un Lagrangien effectif en
polynômes dérivatifs locaux 419 Ensembles de matrices Travaux de M. Gaudin 3-11 PAGE 3
ON THE DENSITY OF EIGENVALUES OF A RANDOM MATRIX
AT. L. MEIITA t and 31. GAGDIN
Centve d’Études Nucléaires de Sacla!y, Gif-sur-Yvette (S. et O.) Frame
Received 6 May 1960
Abstract: An exact cxpression for the density of eigenvalues of a random-matrix is derived. iVlien
the order of the matrix becomes infinite, it can he seen very directly that it goes over to
Wigner’s “semi-circle law”.
1. Introduction
In heavy nuclei, the interactions are SO numerous and SO complex that
almost all the theories are statistical in nature and they try to explain only the
average properties like level-density, mean square angular momenta, distribu-
tion of level-spacings, transition probability, etc. tt.
In this paper, which is essentially the continuation of the preccding one l),
we start from the random matrix hypothesis and calculate exactly the level-
density. This, in the proper limit, will be found to be the famous “semi-circle
law” of Wigner 2). The proof here is, however, mathematically rigorous.
The joint probability frequency function of the eigenvalues O,, O,, . . ., O, of
an n x n hermitian matrix, whose elements are randomly and independently
distributed (these distributions being invariant under unitary transformations),
is given by 3,
~(d,, O,, . . ., O,) = ,u O -1e-Z=lSi rr 10%-0311 (1)
ici
with
To get the level-density one must integrate the expression (1) over all the
variables but one, i.e.
+Co
P(0) . . . J-m P(O, O,, O,, . . ., H,)dO,dO,. . . dû,. (3)
\lie shall do it explicitly for n = 2m. As in the preceding paper, we overcome
the serious difficulty of the unfavourable symmetri