Introduction à l'analyse fonctionnelle , livre ebook
552
pages
Français
Ebooks
1981
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Ebook
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Publié par
Date de parution
01 janvier 1981
Nombre de lectures
40
EAN13
9782760520264
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
10 Mo
Fruit de la collaboration des professeur Walter Hengarther de l’Université Laval, Marcel Lambert et Corina Reischer de l’Université du Québec à Trois-Rivières, Introduction à l’analyse fonctionnelle se distingue tant par l’étendue de son contenu que par l’accessibilité de sa présentation. Sans céder quoi que ce soit sur la rigueur, il est parfaitement adapté à un premier cours d’analyse fonctionnelle. Tout en étant d’abord destiné aux étudiants en mathématiques, il pourra certes être utile aux étudiants de second cycle en sciences et en génie.
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Date de parution
01 janvier 1981
Nombre de lectures
40
EAN13
9782760520264
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
10 Mo
Le Fonds F.C.A.C. pour l’aide et le soutien à la recherche a accordé une aide financière pour la rédaction et pour l’édition de cet ouvrage, dans le cadre de sa politique visant à favoriser la publication en langue française de manuels et de traités à l’usage des étudiants de niveau universitaire.
ISBN 2-7605-0293-7 Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés ©1981 Les Presses de l’Université du Québec
e Dépôt légal — 3 trimestre 1981 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada
1981 Les Presses de l’Université du Québec C.P. 250, Sillery, Québec G1T 2R1
AVANT-PROPOS
Ce livre est considéré comme un manuel pour un premier cours en analyse fonctionnelle au niveau de la dernière année du premier cycle ou première année de deuxième cycle. Il s’adresse soit aux étudiants en mathématiques (pures, appliquées ou statistiques) soit aux étudiants en sciences et génie. Dans ce but, nous avons illustré le texte avec des exemples variés toutes les fois que nous avons introduit une nouvelle notion ou montré un théorème. De plus nous avons préféré l’approche classique pour qu’un étudiant ayant déjà une bonne maîtrise de l’analyse réelle et complexe et de l’algèbre linéaire puisse facilement suivre ce livre. C’est pourquoi nous ne donnons pas de références.
À la fin des chapitres, le lecteur trouve des exercices et des projets. Le but des exercices est de vérifier si l’étudiant a bien compris et assimilé le contenu du texte. Ce sont donc des exemples ou des applications directs de la matière qu’on a vue dans le chapitre et qui sont faciles à résoudre. D’autre part les projets traitent de sujets nouveaux qui sont en relation très proche de la matière du chapitre. Nous procédons par étapes. Au lieu d’expliquer la théorie, c’est le lecteur qui va la découvrir. Nous avons donc trois buts pour les projets : a)approfondir le contenu du chapitre ; b)apprendre à l’étudiant à faire un développement mathématique ; c)élargir un peu le champ des applications de l’analyse fonctionnelle. Comme le titre de ce livre le mentionne, il s’agit bien d’une introduction à l’analyse fonctionnelle, c.-à-d. qu’on trouvera ici ou bien un outil mathématique qui s’applique directement aux domaines divers ou bien une base pour des études plus profondes et plus récentes de l’analyse fonctionnelle.
Nous ne saurions trop remercier madame Jacqueline Hayes qui a voulu mettre toute son habileté et son expérience à notre disposition pour la dactylographie du texte. La grande quantité de symboles utilisés dans ce livre a sans doute demandé une patience et une persévérance que nous reconnaissons sincèrement.
Walter Hengartner Marcel Lambert Corina Reischer
TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE 1 — PRÉLIMINAIRES
1.1 1.2 1.3
Ensembles ordonnés. Axiome des chaînes maximales ............................................2 Éléments de topologie .............................................................................................6 Mesure et intégration .............................................................................................13
CHAPITRE 2 - ESPACES LINEAIRES 2.1 Espaces et sous-espaces linéaires ..........................................................................42 2.2 Ensembles linéairement indépendants. Sous-espaces engendrés............................47 2.3 Base algébrique. Dimension algébrique ................................................................49 2.4 Isomorphisme des espaces linéaires ......................................................................53 2.5 Décomposition en somme directe d’un espace linéaire .........................................56 2.6 Espaces linéaires quotient. Codimension algébrique .............................................57 2.7 Espaces linéaires topologiques ..............................................................................62 EXERCICES .........................................................................................................67 PROJETS ...............................................................................................................73
CHAPITRE 3 - ESPACES MÉTRIQUES 3.1 Espace métrique. Définitions. Propriétés générales ........................................... 78 3.2 Espace normé. Définitions. Propriétés générales ............................................... 88 3.3 Convergence. Espaces métriques complets ........................................................ 96 3.4 Une propriété de point fixe dans les espaces métriques complets ............................................................................................................ 111 3.5 Complétion des espaces métriques ................................................................... 117 3.6 Espaces métriques de première et de deuxième catégorie de Baire ................................................................................................................. 121 3.7 Espaces métriques séparables ........................................................................... 126 3.8 Espaces métriques compacts ............................................................................ 135 3.9 Espaces normés équivalents ............................................................................. 154 3.10 Complétion des espaces normés ...................................................................... 159 3.11 Espaces normés de dimension algébrique finie ............................................... 161 3.12 L’espace produit ou somme directe de deux espaces normés ......................... 167 EXERCICES .................................................................................................... 171 PROJETS .......................................................................................................... 178
CHAPITRE 4 - ESPACES DE HILBERT
4.1 Définitions. Propriétés générales ......................................................................... 186 4.2 Orthogonalité. Décompositions orthogonales d’un espace de Hilbert ............................................................................................................ 195 4.3 Bases orthonormales d’un espace de Hilbert ...................................................... 204 4.4 Isomorphisme des espaces de Hilbert. Dimension hilbertienne ......................... 222 4.5 Les séries de Fourier .......................................................................................... 225 4.6 Théorème de Müntz et polynômes orthonormaux .............................................. 239 EXERCICES ....................................................................................................... 248 PROJETS ............................................................................................................. 253
CHAPITRE 5 - FONCTIONNELLES LINÉAIRES 5.1 Fonctionnelles linéaires sur un espace linéaire .................................................. 268 5.2 Fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé .................................... 274 5.3 Fonctionnelles linéaires sur un espace de Hilbert .............................................. 279 5.4 Le théorème de Hahn-Banach ............................................................................ 282 5.5 L’espace dual topologique d’un espace normé .................................................. 291 5.6 Théorème de Banach-Steinhauss ........................................................................ 310 5.7 Distributions ....................................................................................................... 313 EXERCICES ....................................................................................................... 326 PROJETS ............................................................................................................. 331
CHAPITRE 6 - OPÉRATEURS LINÉAIRES 6.1 Opérations linéaires sur un espace linéaire ....................................................... 336 6.2 L’algèbre La341(X) ................................................................................................. 6.3 Opérateurs linéaires continus sur un espace normé ........................................... 343 6.4 L’espace normé (L(X,Y), || ||) ........................................................................... 345 6.5 L’algèbre de Banach L(X) ................................................................................. 352 6.6 Opérateurs linéaires réguliers ............................................................................ 353 6.7 Opérateurs linéaires compacts ........................................................................... 358 6.8 Convergence dans L(X,Y) ................................................................................. 363 6.9 L’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu ...................................... 371 6.10 Le théorème de Banach-Steinhaus .................................................................... 375 6.11 Le principe de l’application ouverte et le théorème du graphe fermé ..................................................................................................... 377 EXERCICES ....................................................................................................... 383 PROJETS ............................................................................................................. 388
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