Oral de mathématiques des grandes écoles, 132 exercices corrigés et commentés - Algèbre volume 3, Espaces préhilbertiens réels, formes quadratiques, espaces hermitiens , livre ebook

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
132 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS

Sous la direction de Denis Monasse

Algèbre vol. 3
Espaces préhilbertiens réels,
formes quadratiques, espaces hermitiens

Alain Tissier

Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES

Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafik Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taïeb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas Tosel

EAN : 9782820811097
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en septembre 2020
Dépôt légal : octobre 2020

Table des matières

Épreuves orales des concours : corrigés7
I. Espaces préhilbertiens réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1. Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
2. Endomorphismes orthogonaux et matrices orthogonales. . . . . . . . . . . . .33
3. Endomorphismes et matrices symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
4. Endomorphismes et matrices antisymétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
5. Espaces préhilbertiens de dimension infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6. Problèmes liés à la distance euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
II. Formes bilinéaires et formes quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2. Formes quadratiques réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3. Formes quadratiques dans un espace euclidien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4. Adjoint d’un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5. La décomposition polaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
III. Espaces hermitiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
1. Espaces hermitiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2. Endomorphismes unitaires, matrices unitaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3. Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . 207

3

4

Préface

5

La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Alain Tissier, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un travail
considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera un
instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.

NOTATIONS
•On noteSnle groupe des permutations de[1, n].
DansSnon note[i1, i2, . . . , ik]le cycle donné pari1→i2→ ∙∙ ∙→ik→i1.

6

•On emploie fréquemment le symbole de Kroneckerδi,jqui vaut1pouri=jet0sinon.

n
•On identifie les éléments deK, oùKest le corps des réels ou celui des complexes, aux
éléments deMn,1(K), c’est-à-dire les matrices-colonnes de taillen. SoitX= (xi)16i6n
n
un élément deK. On note souventX[i] =xi

•SoitA= (ai,j)16i6n,16j6pune matrice. On note souventA[i, j] =ai,j.

n
•La base canonique(Ek)16k6ndeKest donnée parEk[i] =δi,kpour tousi, k.

•La base canonique(Ek,ℓ)16k6n;16ℓ6mdeMn,m(K)est donnée par

Ek,ℓ[i, j] =δi,kδj,ℓpour tousi, j, k.
∗
•SoitMune matrice complexe. On noteMla transposée de la conjuguée deM. Cette
notation s’applique en particulier aux matrices-colonnesX.
 
a10. . .0
.
.
0a2..
•se note diagLa matrice diagonale(a1, . . . , an).
 
. .
. .
 
.. .0
0. . .0an
•La matrice nulle sera notée0ou(0)selon les circonstances. Dans une matrice
décomposée en blocs elle pourra être notée(0)pou(0)p,qen référence à son format ((0)p= (0)p,p).

•Pour toute matrice carréeMon noteSp(M)le spectre deM, c’est-à-dire l’ensemble
des valeurs propres deM(sans répétition).

D’autres notations sont indiquées en tête de chaque chapitre.

Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles

I. Espaces préhilbertiens réels

Rappels et notations
•Un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien, euclidien s’il est
de dimension finie.

•Les notations(.|.)ouh., .idésignent des produits scalaires.

•La norme associée à un produit scalaire, dite euclidienne, est notée souventk.k.
n
X
n t
•SurR, le produit scalaire canonique est donné par(X|Y) =XY=X[i]Y[i]; c’est
i=1
n
celui pour lequel la base canonique deRest orthonormée.

t
•SurMn(R), le produit scalaire classique est donné par(M|N) = tr(M N); c’est celui
pour lequel la base canonique deMn(R)est orthonormée.

•Poura < b, sur l’espace vectorielC([a, b],R)des fonctions réelles continues sur[a, b], le
Z
b
produit scalaire classique est donné par(f|g) =f(t)g(t) dt.
a
+
•On noteOn(R)l’ensemble des matrices orthogonales de taillenetO(R)ouSO(n,R)
n
l’ensemble des matrices orthogonales directes de taillen.

•Dans un espace euclidienEon noteO(E)l’ensemble des automorphismes orthogonaux
+
deEetO(E)l’ensemble des automorphismes orthogonaux direct deE.

•Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

8

•On rappelle le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux.

Théorème.
Il existe pour toutf∈mathcalO(E)une base orthonormée deEoù la matrice defest

cosθ−sinθ
diagonale par blocs1×1qui sont(1)ou(−1)ou2×2du type.
sinθcosθ
•DansMn(R)deux matricesAetBsont orthogonalement semblables s’il existe une
mat
trice orthogonalePtelle queP AP=B.

•On noteSn(R)l’ensemble des matrices symétriques réelles de taillen.

•On noteS(E)l’ensemble des endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien
E.

•D’après le théorème spectral, tout élément deSn(R)est orthogonalement semblable à une
matrice diagonale réelle.

•Un endomorphismeud’un espace euclidienEest dit antisymétrique si(u(x)|y) =−(x|u(y))
pour tousx, ydeE; en particulier(x|u(x)) = 0pour toutx. Un endomorphisme deEest
antisymétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée deEest
antisymétrique.

1. Espaces euclidiens

SoitE,(.|.))un espace euclidien de dimensionnoùn>1.
a)Montrer que pour toute base(ei)16i6ndeE, il existe une et une seule base
!
n
X
(fi)16i6ndeEtelle que :(∀x∈E)x= (ei|x)fi.
i=1
t
b)Montrer que(A, B)7→tr(AB)est un produit scalaire surMn(R).
c)Montrer que pour toute base(Gk)16k6ndeMn(R), il existe une unique base
2
 
2
n
X
2 
(Hk)16k6ntelle que :(∀A∈ Mn(R))A= tr(AGi)Hi.
i=1
d)SoitΓun sous-groupe deGLn(R)qui engendre linéairementMn(R). On
suppose que toute valeur absolue d’une valeur propre complexe d’un élément deGest
majorée par1. Montrer queΓest une partie bornée deMn(R).
RMSAnnée 2005 - numéro 938.

˙
Solution écrite à partir de celle d’ Ivan Gozard

a)Notons pour toutxdeE:

ϕ(x) = ((e1|x), . . . ,(en|x)).

n
L’applicationϕ:E→Rest linéaire.

9

Soitx∈Ker(ϕ). On a(ei|x) = 0pour touti; par linéarité(x|x)est nul doncxest nul.
n
Ainsiϕest injective. Commedim(E) =n= dim(R),ϕest un isomorphisme d’espaces
vectoriels réels.

n
Notons(εi)16i6nla base canonique deR. Il existe, pour touti∈[1, n], un et un seul
fi∈Etel queϕ(fi) =εi; ceci revient à

pour tousi, j.

(ei|fj) =δi,j

Commeϕest un isomorphisme, le système(fi)16i6nqui est l’image réciproque parϕde la
base(εi)est une base deE.

10

n
X
Posonsψ(x() =ei|x)fi. L’applicationψest linéai