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Publié par	Thowyug
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Langue	Français

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THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PARIS 6
Specialite :
MATHEMATIQUES
presentee par :
M. NICOLAS RATAZZI
pour obtenir le grade de docteur de l’Universite Paris 6
Sujet :
Minoration de la hauteur de Neron-Tate pour les points et les
sous-varietes : variations sur le probleme de Lehmer
Soutenue le 25 mai 2004 devant le jury compose de :
M. Francesco AMOROSO (Caen)
M. Daniel BERTRAND (Paris 6)
M. Jean-Beno^ t BOST (Paris 11, Orsay)
M. Carlo GASBARRI (Rome 2) Rapporteur
M. Marc HINDRY (Paris 7) Directeur
M. Michel LAURENT (CNRS, Marseille) Rapporteur2Remerciements
Je tiens avant tout a remercier mon directeur de these Marc Hindry. Il a pleinement
repondu a mes attentes d’encadrement et d’autonomie. Il a notamment toujours mani-
feste son inter^et pour mes recherches, m^eme si celles-ci ne correspondent pas exactement
au sujet qu’il m’avait propose. Par ailleurs, il a fait preuve d’une disponibilite tout a fait
remarquable, ayant toujours un moment a me consacrer lorsque j’en ressentais le besoin.
C’est toujours avec beaucoup de gentillesse et une grande clarte qu’il a repondu a mes
questions.
Je suis tres heureux que Carlo Gasbarri et Michel Laurent aient accepte de rapporter ma
these, t^ache ingrate qu’ils ont neanmoins e ectu ee avec diligence. Je suis honore qu’ils aient
tous deux accepte de faire le deplacement a Paris pour assister a ma soutenance.
Je souhaite egalement exprimer ma reconnaissance a Francesco Amoroso, Daniel Bertrand
et Jean-Beno^ t Bost pour avoir accepte de faire partie de mon jury de these.
Je tiens ici a indiquer ma gratitude envers Sinnou David. C’est son cours de DEA de
l’annee scolaire 2000/2001 sur la geometrie diophantienne (et entre autres choses sur le
nprobleme de Lehmer surG ) qui, avec le livre de Marc Hindry et Joseph Silverman surm
le m^eme sujet, m’a de nitiv ement donne envie de faire ma these dans ce domaine. Par
ailleurs, il a toujours accepte de repondre chaleureusement a mes questions et c’est lui qui
m’a encourage a ecrire l’article correspondant au chapitre 3 de cette these.
Bien que je n’aie pas encore reussi a exploiter ses idees, je voudrais egalement remercier
Jean-Beno^ t Bost pour le temps qu’il a accepte de me consacrer, essayant de me faire
comprendre sa vision des choses concernant les liens que pourraient avoir le theoreme de
l’indice de Hodge arithmetique avec les problemes d’approximations diophantiennes.
C’est a l’occasion d’un expose a Grenoble et d’une discussion avec Gael Remond que j’ai
eu l’idee (et compris l’inter^et) d’ecrire l’article correspondant au chapitre 5 de cette these.
Par la suite Gael Remond a toujours repondu avec precision a mes di erentes questions
concernant ses travaux. Je tiens a le remercier ici.
Pascal Autissier a egalement toujours accepte de repondre a mes questions sur la theorie
d’Arakelov. Par ailleurs je suis tres heureux des recentes discussions stimulantes que nous
avons pu avoir concernant les problemes de Lehmer.
C’est au magistere de l’Ecole Normale Superieure de Paris que j’ai reellement commence
3a prendre gout^ pour la recherche. C’est egalement l a que j’ai rencontre certains de mes
meilleurs amis, Philippe Gravejat, Julien Marche, Benoit Daniel, Sebastien Gouezel, Alexis
Devulder, Denis Conduche, Laurent Mazet et Thomas Bourdel. Je souhaite les saluer ici,
notamment pour les moments de detente (non mathematiques!) que nous avons pu passer
ensemble. Un petit clin d’oeil egalement a Tanguy Rivoal pour les discussions diverses
que nous avons eues et pour m’avoir introduit dans l’antre de l’Arbre Sec. Par ailleurs, je
regretterai l’ambiance tres detendue du plateau des doctorants 7C de Chevaleret.
Je tiens ici a remercier du fond du coeur ma mere, mon pere et mon beau-pere pour
la con ance qu’ils ont toujours placee en moi. Je voudrais en n remercier ma compagne
Sandrine, a qui je dedie cette these, pour son soutien constant, surtout dans les moments
les plus durs.
4Table des matieres
I Probleme de Lehmer sur les varietes 21
1 Degre geometrique, degre arithmetique et hauteur 23
1.1 Degre geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.1 Theorie de l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cycles et equivalence rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.2 Degre d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Degre arithmetique sur SpecO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28K
1.2.1 Degre arithmetique : de nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exemples de metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Degre arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Degre : proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Proprietes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Hauteur sur les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
n1.3.1 Hauteur surP (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2 de Neron-Tate sur les varietes abeliennes . . . . . . . . . . 35
1.4 Hauteur sur les varietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 De nition a la Bost-Gillet-Soule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Hauteur de Faltings d’une variete abelienne . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 de Neron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.4 De nition a la Philippon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Resultats et conjecture sur la hauteur canonique . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1 Resultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.2 R principaux et conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Densite de points et minoration de hauteur 45
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Degre et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 La proposition cle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Un lemme de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Preuve du theoreme 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5e du corollaire 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
52.6 Preuve du corollaire 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Probleme de Lehmer pour les hypersurfaces de varietes abeliennes de
type C.M. 61
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Degre et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Frobenius, isogenies admissibles et derivations . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Morphismes de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Isogenies admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Choix des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Lemme de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II Probleme de Lehmer sur les points 79
4 Probleme de Lehmer surG et methode des pentes 81m
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Notations et preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Un morphisme pour l’inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 \Lemme de zeros" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.1 La ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2 L’inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.3 Evaluation de rg(E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86k
4.4.4 Calcul des degres et des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.5 desjj’ jj : l’extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87k p
Calcul desjj’ jj , l premier quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 87k l
Ra nemen t pour l =p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87kV
max4.5 Calcul d’un bon majorant dejj ’fjj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89k C
4.5.1 Une petite reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.2 Preuve de la proposition 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90V
Majorant dejj Ch jj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91DV
Majorantjj Lag jj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91DV
Majorant dejj Evaljj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .