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Chapter 3Processus de renouvellementB Exemple: Dans une machine, le dur´ee de vie d’un certain composant est mod´elis´ee par unevariable al´eatoire X `a valeurs dansR . On remplace ce composant d`es qu’il est en panne, et on+peut se demander combien de fois on va devoir le remplacer pendant les 10 prochaines ann´ees.B Exemple: Des clients se pr´esentent a` un bureau de poste, a` des instants d’arriv´ee qu’onsuppose al´eatoires. Peut-on ´etudier la longueur de la ﬁle d’attente ? Combien de guichetsdoit-on ouvrir pour optimiser le service ?3.1 D´eﬁnitionsSoit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Un processus (X ) est une collection de variablest t≥0al´eatoires `a valeur dans R, ind´ex´ee par le temps t ∈ R . Pour un ω ∈ Ω donn´e, t 7→ X (ω)+ trepr´esente l’´evolution d’une quantit´e au cours du temps. Autrement dit, ω7→ (t7→ X (ω)) esttune variable al´eatoire, a` valeur dans l’ensemble des fonction deR dansR.+B Exemple: X temp´erature au temps t, ou prix d’une action au temps t, ou nombre de genstqui se sont pr´esent´es au guichet avant t...∗∗Soit (X ) une suite de vaiid a` valeurs dansR . On d´eﬁniti i∈N +nXS = 0 et pour n≥ 1, S = X .0 n kk=1∗On d´eﬁnit le processus de renouvellement (N ) associ´e aux temps inter-arriv´ees (X ) ent t≥0 i i∈Nposant: N = 0 et pour t> 0,0+∞XN = 1 .t {S ≤t}ii=1Remarque: Pour tout ω ∈ Ω, t7→ N (ω) est une fonction croissante de R dans N. On ditt +que N est un processus croissant.t∗Remarque: Comme X est a` valeurs dans ...

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Publié par	Soof
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Chapter 3

Processusderenouvellement

BExemple:Dsuanamennihcel,e´rudviedeedeerta’uncpmsonioctsomnaet´eiseld´eunarep variableale´atoireXrudsnasa`avelR+lacececo.Onrempqse`li’usopmdtna,enentoteesannp peutsedemandercombiendefoisonvadevoirleremplacerpendantles10prochainesann´ees.

BExemple:eDilcsstnebnruaedupesoet`,sepr´esentent`auuqee´virno’stinesadard’tsan supposeal´eatoires.Peuton´etudierlalongueurdelaﬁled’attente?Combiendeguichets doiton ouvrir pour optimiser le service ?

3.1De´ﬁnitions Soit (Ω,F,P.Unit´eabilprobecedseap)nuprocessus(Xt)t≥0est une collection de variables al´eatoiresa`valeurdansR,ind´ex´eeparltemespt∈R+. Pourunω∈Ωnndo,´et7→Xt(ω) repr´esentel’e´volutiond’unequantit´eaucoursdutemps.Autrementdit,ω7→(t7→Xt(ω)) est unevariableal´eatoire,`avaleurdansl’ensembledesfonctiondeR+dansR. BExemple:Xtare´pmetetuaerutmpst, ou prix d’une action au tempst, ou nombre de gens quisesontpre´sente´sauguichetavantt... ∗ nesuitedevaiida`valeursdansR Soit (Xi)i∈Nu+.Onﬁtidne´ ∗ n X S0= 0 et pourn≥1, Sn=Xk. k=1 Onde´ﬁnitleprocessus de renouvellement(Nt)t≥0eeemsp(sintecri´aerraiuvx´tsaosXi)i∈Nen ∗ posant:N0= 0 et pourt >0, +∞ X Nt=1{Si≤t}. i=1 Remarque:Pour toutω∈Ω,t7→Nt(ω) est une fonction croissante deR+dansNdit. On queNtest un processus croissant. ∗ R, Remarque:CommeX1alavrseunsda`tse+P(X10==)see´odcn,0teyapailn’rrivsd’a simultane´es.Enparticulier,lasuite(Sn)n≥1des instants de renouvellement est strictement croissante et le processus de renouvellement (Nt)t≥0ne fait que des sauts de hauteur 1.

Remarque:CommeX1dsrusnae`astlevaR+os,letietbaele´rgittnelseEX1∈[0,+∞[, soit ellen’estpasint´egrable,etalorsonposeEX1= +∞. ♣Exercice 1:Donnerunrdeusan`avelavamexedelpNﬁensidn’ecrepa´nnetu,eiea`av densite´a`valeurdansR+esp´d’ecnirena.nﬁei BExemple:SiXiieducomposantre´eprtnesdalee´ruvedeise`rpatne(mcleiuneofcnitnoen i−1 remplacements), alorsSnet’lsenepe´rrelaantdinstni’luatsnapemoenni`eduntneemi` renouvellement, etNtavll[ee0llti’tnrec´oemspdousraanntnsoumtbirledies, t]. BExemple:SiXirrvilea’nertuoel’´ecquisempssdetletnpalerperese´tenliuced´ei−1 et celle du clienti,Snstantd’arriv´eedrpe´rseneet’lniilcutnen, etNtle nombre de clients qui se sontpr´esente´sdurantl’intervalle[0, t]. Remarque:stleIalivqu´eˆınaeltrtdenonecedsuonerorpessecnt(uvellemeNt)t≥0, la suite (Xi)i∈Naerntsimpteesdiusaluo,see´virrte(Sn)n≥1En eﬀet,des instants de renouvellement. ∗ •oisonncˆınaestlmpteistnrearrvie´se(Xi)i∈Nsniseltiredstnatllveouentenem,ond´eﬁn ∗ (Sn)n≥1, puis le processus de renouvellement (Nt)t≥0; •(tnemleeluvnoredetsannitsltseanıˆcnnosioSn)n≥1, on peut construire le processus de renouvellement (Nt)t≥0levuetsernotorte,ees(tnrepmisvie´arrXi)i∈Nen remarquant ∗ que Xn=Sn−Sn−1. •si on connaˆıt le processus de renouvellement (Nt)t≥0, on retrouve les instants de renou vellement (Sn)n≥1en remarquant que

Sn= inf{t≥0 :Nt≥n}.

3.2Proprie´t´estrajectorielles

The´ore`me3.2.1Soit(Nt)t≥0unproceonvuleelsssuedereesossatnemtxuae´icteinpsemv´riarr (Xi)i∈Net aux instants de renouvellement(Sn)n≥1. ∗ Sn •tn,rePuesqˆusmerelim =EX1. n→+∞ n •emtnp,uotruotPresquesˆuret≥0,Nt<+∞.

•ruˆsneme,tPresquelimNt= +∞. t→+∞ Nt1 •meneˆsru,tesPrequlim =. t→+∞ tEX1

De´monstration: •On applique simplement cette version de la loi forte des grands nombres:

The´or`eme3.2.2Soit(Xn)n∈Ndarseualnsdse`dvaaviiR+avec prob. Alors, abilit´e1, n X 1 limXi=EX1. n→+∞ n i=1 Ceth´eor`emeestvraimˆemesiEX1= +∞. ˜ •emmcot,enedc´e´rptniopelsae’`DrpEX1>0, il existe une partie Ω⊂Ω, de ˜ probabilite´1tellequepourtoutω∈Ω,

limSn(ω) = +∞. n→+∞ ˜ Soitω∈e,Ωﬁx´t >isexI0lﬁex.´ten≥1 tel queSn≥t↔Nt≤n. ∗ •SoitM∈Nqeeurauqﬁxnrem´e.ONSM=M, et commet→Ntest croissant, pour toutt≥SM,Nt≥M. •Soitt >xﬁe´O.anotjuuosr0SNt=t < SNt+1u,’d`o SNtt SNt+1Nt+ 1 <≤. NtNtNt+ 1Nt S S NtNt+1 CommeNttend vers +∞lim =lim =, le premier point assure que t→+∞t→+∞ NtNt+ 1 Nt+ 1 EX1tlei`isroet.1=lemiassurequemepoint Nt t→+∞ 

3.3ProcessusdeRenouvellementavecRe´compense(PRR) Onconside`remaintenantunesuite(Xn, Rn)n∈Nvuae`ldaniaidrsR+×R, et on appelleprocessus derenouvellementavecr´ecompensele processus Nt X Rt=Ri, i=1 ou`Ntsimpernteai´teux(serrae´vicoseelrpreneusdsllemouvessocentasteXn)n∈N. BExemple:Rnpeuneetlrtertpe´rseucedicrvsedepsemore´muntneilndans la ﬁle d’attente, et alorsRtrvicdesentl’eava´elrseetnreeptetolapmtstntasnit. BExemple:Rnplacementd’uncomtnreelocuˆdtremeutpese´eprreasope,tnolatsrRt repr´esentelecouˆtd’entretiendusyste`mejusqu’autempst. Remarque:Attention, on suppose que les (Xn, Rn)n∈N´dpeneadostnninoercpatrons,ntisma ne suppose pas queX1etR1´dnitnosntdaeneps. Remarque:SiRn=rpco,1elsderessumpen´ecoocescnı¨aedilcevroepsscedeusnorevuleel ment.

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