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THÈSEprésentée en vue de l’obtention du grade deDOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DELORRAINESpécialité: Mécanique et ÉnergétiqueparMichel BERGMANNOPTIMISATION AÉRODYNAMIQUEPARRÉDUCTIONDEMODÈLEPODETCONTRÔLEOPTIMAL.APPLICATIONAUSILLAGELAMINAIRED’UNCYLINDRECIRCULAIRE.Direction de Thèse: Jean-Pierre Brancher - Laurent CordierSoutenance prévue le 17 Décembre 2004 devant la Commission d’ExamenEXEMPLAIRE PROVISOIRE— JURY —J.-P. BONNET Directeur de Recherches CNRS, LEA, Poitiers ExaminateurA. BOTTARO Professeur Université de Gènes, Environmental Engineering Department RapporteurJ.-P. BRANCHER Professeur ENSEM - LEMTA, Nancy Directeur de thèseL. CORDIER Maître de conférences EEIGM - LEMTA, Nancy Co-directeur de thèseP. LE QUÉRÉ Directeur de Recherches CNRS, LIMSI, Orsay ExaminateurJ.-E. WESFREID Directeur de Recherches CNRS, PMMH-ESPCI, Paris Rapporteur— INVITÉ —C.-H. BRUNEAU Professeur Université Bordeaux 1, MAB Examinateur“Without an inexpensive method for reducing the cost of ﬂow computations, it isunlikely that the solution of optimization problems involving the three dimensional,unsteady Navier-Stokes system will become routine.”Max Gunzburger (2000).TABLE DES MATIÈRES iTable des matièresIntroduction 11 Description et validation de l’outil numérique 111.1 Modèle de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Méthode de résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Langue	Serbian

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THÈSE présentée en vue de l’obtention du grade de DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE Spécialité : Mécanique et Énergétique

par Michel BERGMANN

— INVITÉ —

C.-H. BRUNEAU Professeur Université Bordeaux 1, MAB Examinateur

OPTIMISATION AÉRODYNAMIQUE PAR RÉDUCTION DE MODÈLE POD ET CONTRÔLE OPTIMAL. APPLICATION AU SILLAGE LAMINAIRE D’UN CYLINDRE CIRCULAIRE.

— JURY —

Soutenance prévue le 17 Décembre 2004 devant la Commission d’Examen EXEMPLAIRE PROVISOIRE

Direction de Thèse : Jean-Pierre Brancher - Laurent Cordier

“ Without an inexpensive method for reducing the cost of ﬂow computations, it is unlikely that the solution of optimization problems involving the three dimensional, unsteady Navier-Stokes system will become routine.”

Max Gunzburger (2000).

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

Introduction 1 Description et validation de l’outil numérique 1.1 Modèle de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Méthode de résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Précision de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Conditions aux limites standards en écoulement ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Condition aux limites de type non-réﬂectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Validation des conditions aux limites de type non-réﬂectif . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Simulations de l’écoulement autour d’un cylindre circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Validation du code de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Écoulement rampant : Re ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Écoulements stationnaires : 4 ≤ Re < 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Écoulements instationnaires stables : 49 ≤ Re < 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Écoulements instationnaires transitionnels : 190 ≤ Re < 260 . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Écoulements instationnaires faiblement turbulents : Re > 260 . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Écoulement de base stationnaire instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7 Récapitulation et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Estimation, contrôle optimal et contrôle robuste 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Contrôle d’écoulement et optimisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Discussion sur la fonctionnelle objectif : régularisation du problème d’optimisation . . 2.3 Contrôle linéaire par feedback dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Contexte de la théorie du contrôle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Théorie du contrôle sur H 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Théorie du contrôle robuste sur H ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Application à l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Optimisation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approche du gradient par les sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Approche du gradient par l’équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Résolution numérique : commutativité des étapes de discrétisation et de diﬀérentiation 2.5 Un problème modèle : l’équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Déﬁnition du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Résolution du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 11 11 13 13 15 17 19 19 19 21 24 27 28 29 31 32 34 35 36 41 41 43 43 44 45 46 47 53 55 57 58 61 62 63 65 65 66 71

3 Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres 75 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.1 Un premier tour d’horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.2 Structure cohérente, POD et contrôle de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Méthode d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 La Décomposition aux Valeurs Singulières (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 Interprétations géométriques de la SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.3 Liens entre SVD et problèmes aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.4 Approximation de rang minimum de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.5 Liens entre POD et SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 La Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (POD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1 L’équation de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.2 Propriétés des fonctions de bases POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.3 Optimalité de la base POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4.4 Discussion sur la réduction de modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 Les diﬀérentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.1 Choix des réalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.2 Choix du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.3 Méthode classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5.4 Méthodes des snapshots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.5 Propriétés communes des deux approches POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5.6 Méthode des snapshots ou POD classique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4 Modèles d’Ordre Réduit basés sur la POD (POD ROM) 97 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1.2 Utilisation de modèles d’ordre réduit en optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Projection de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 Modèles d’ordre faibles basés sur la POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 Application au cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3.1 POD du cylindre stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.2 Incorporation du contrôle dans le modèle POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Intégration et stabilisation du modèle d’ordre faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4.1 Intégration du système POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4.2 Amélioration du système d’ordre faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5 Etude des bifurcations bidimensionnelles par POD ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.2 Etude de stabilité de l’écoulement autour d’un cylindre circulaire en 2D . . . . . . . . 125 4.5.3 Etude de la première bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.4 Etude de la seconde bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5 Contrôle optimal d’un modèle réduit du sillage d’un cylindre circulaire 133 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2 Modèle réduit du sillage d’un cylindre circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3 Approche contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3.1 Système optimal réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3.2 Résolution du système optimal réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 Loi de contrôle obtenue par le système réduit POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4.1 Inﬂuence du contrôle sur la base POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4.2 Fonctions de base POD généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4.3 Résultats du contrôle optimal par système réduit POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.4.4 Réduction de traînée obtenue par les équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 143

TABLE DES MATIÈRES iii 5.4.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6 Optimisation par méthode adaptative et modèles réduits POD 149 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.2 Fonction objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3 Reconstruction du champ de pression par POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.1 Détermination d’une base POD pour la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.2 Reconstruction du champ de pression par POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Reconstruction de la fonction objectif par POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4.1 Fonctions de base en champs ﬂuctuants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.4.2 Fonctions de base avec champs moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4.3 Fonctions de base avec modes de non-équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4.4 Résultats des diﬀérentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5 Méthode adaptative POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.5.1 Processus de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.5.2 Formulation contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.5.3 Résolution du système optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.6 Résultats de la méthode adaptative POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.6.1 Résultats du processus d’optimisation adaptatif POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.6.2 Restriction du domaine de validité du contrôle d’un modèle réduit POD . . . . . . . . 171 6.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7 Optimisation par méthodes à région de conﬁance et modèles réduits POD 181 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2 Méthodes à région de conﬁance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.2 Optimisation de fonctions modèles quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.3 Optimisation de fonctions modèles générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.3 Méthodes à région de conﬁance et modèles réduits POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3.2 Utilisation de fonctions approchées basées sur des modèles réduits POD . . . . . . . . 190 7.3.3 Résultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.4 Application : réduction de traînée d’un cylindre circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.4.1 Déﬁnitions des fonctions objectif et modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.4.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.4.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Conclusion et perspectives 211 A Etude numérique du cylindre manipulé 215 A.1 "Optimisation" par manipulation d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 A.2 Synchronisation des fréquences de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 A.3 Existence d’une valeur optimale pour l’angle maximal de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . 221 A.4 Cas test : A=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B Stabilité des systèmes dynamiques 225 B.1 Stabilité d’un point ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 B.2 Stabilité des solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 B.2.1 La matrice de Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 B.2.2 La section de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 B.2.3 Calcul pratique de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

C Algorithmes d’optimisation non-linéaire sans contrainte 231 C.1 Algorithmes à directions de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 C.1.1 La recherche linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 C.1.2 Méthode du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 C.1.3 Méthodes de gradient conjugué non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 C.1.4 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 C.1.5 Méthode de quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 C.2 Algorithmes sans calcul de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 C.2.1 Méthodes du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 C.2.2 Méthodes de recherche multi-directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 C.3 Méthodes à régions de conﬁance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 C.3.1 Fonctions modèles quadratiques basées sur un gradient exact . . . . . . . . . . . . . . 243 C.3.2 Fonctions modèles quadratiques basées sur un gradient inexact . . . . . . . . . . . . . 245 C.3.3 Fonctions modèles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 C.4 Algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 D Systèmes optimaux basés sur le modèle de Navier-Stokes 249 D.1 Minimisation de la traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 D.1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.1.2 Approche du gradient par les sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 D.1.3 Approche du gradient par l’équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 D.2 Écoulement cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 E Contrôle par rotation partielle du cylindre 261 E.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 E.2 Contrôle amont déﬁni par θ c = 0 ◦ (écoulement non contrôlé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 E.3 Contrôle amont déﬁni par θ c = 30 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 E.4 Contrôle amont déﬁni par θ c = 60 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 E.5 Contrôle amont déﬁni par θ c = 90 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 E.6 Contrôle amont déﬁni par θ c = 120 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 E.7 Contrôle amont déﬁni par θ c = 150 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 E.8 Contrôle amont déﬁni par θ c = 180 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 E.9 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Bibliographie 280

TABLE DES FIGURES

Table des ﬁgures

1 Schéma de principe du contrôle actif en boucle fermée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Représentation schématique d’un problème d’optimisation dans l’espace des paramètres de contrôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Représentation schématique de l’optimisation par méthode adaptative et région de conﬁance. 6 4 Représentation schématique de notre conﬁguration d’écoulement contrôlé modèle. . . . . . . . 7 1.1 Écoulement de sillage autour d’un cylindre circulaire. Représentation schématique de la conﬁ-guration simulée numériquement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Représentation en coordonnées logarithmiques des erreurs spatiale et temporelle pour le cas du tourbillon de Green Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1.3 Domaine de calcul pour l’écoulement de couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Maillage utilisé pour la simulation de l’écoulement de couche de mélange. . . . . . . . . . . . 22 1.5 Evolution temporelle de la composante u de la vitesse en deux points caractéristiques P 1 et P 2 de la couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Evolution temporelle de la composante v de la vitesse en deux points caractéristiques P 1 et P 2 de la couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Evolution temporelle du coeﬃcient de pression en deux points caractéristiques P 1 et P 2 de la couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8 Isovaleurs de la vorticité ω z à t = 100 pour les simulations numériques A et B . Écoulement de couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9 Superposition du champ de vitesse et des isovaleurs de la vorticité ω z à t = 100 . Écoulement de couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.10 Isobares à t = 80 pour les simulations numériques A et B . Écoulement de couche de mélange. 26 1.11 Gros plan sur la frontière de sortie du domaine des isobares obtenues à t = 80 pour les simulations numériques A et B . Écoulement de couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12 Maillage en éléments ﬁnis de type Delaunay autour d’un cylindre circulaire. . . . . . . . . . . 28 1.13 Lignes de courant et isovaleurs de ω z obtenus à t = 1000 pour Re = 4 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.14 Lignes de courant autour d’un cylindre circulaire pour Re = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.15 Lignes de courant autour d’un cylindre circulaire pour Re = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.16 Répartition du coeﬃcient de pression sur la frontière du cylindre pour Re = 20 et Re = 40 . L’angle θ est initialisé au point d’arrêt amont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.17 Evolution temporelle de la longueur de la zone de recirculation pour Re = 20 et Re = 40 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.18 Evolution temporelle de l’angle de décollement pour Re = 20 et Re = 40 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.19 Isobares et isovaleurs de ω z obtenus à t = 100 pour Re = 100 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.20 Evolution temporelle des coeﬃcients de traînée ∙ ∙ ∙ et de portance − pour Re = 100 . . . . . . 32 1.21 Spectres de puissance de la traînée ∙ ∙ ∙ et de la portance − pour Re = 100 . . . . . . . . . . . 32 1.22 Isobares et isovaleurs de ω z à t = 100 pour Re = 200 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire. 33 1.23 Evolution temporelle des coeﬃcients de traînée ∙ ∙ ∙ et de portance − pour Re = 200 . . . . . . 33 1.24 Spectres de puissance de la traînée ∙ ∙ ∙ et de la portance − pour Re = 200 . . . . . . . . . . . 33 1.25 Isobares et isovaleurs de ω z obtenus à t = 100 pour Re = 1000 . Écoulement autour d’un cylindre circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.26 Evolution temporelle des coeﬃcients de traînée ∙ ∙ ∙ et de portance − pour Re = 1000 . . . . . 35

1.27 Spectres de puissance de la traînée ∙ ∙ ∙ et de la portance − pour Re = 1000 . . . . . . . . . . . 35 1.28 Représentations en isovorticité et en lignes de courant pour l’écoulement de base stationnaire instable à Re = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.29 Evolution du coeﬃcient de traînée moyen en fonction du nombre de Reynolds. Comparaison entre l’écoulement naturel et l’écoulement de base stationnaire instable. . . . . . . . . . . . . 37 1.30 Evolution temporelle du coeﬃcient de traînée en fonction du nombre de Reynolds. . . . . . . 38 1.31 Evolution temporelle du coeﬃcient de portance en fonction du nombre de Reynolds. . . . . . 38 1.32 Variation du nombre de Strouhal naturel St n en fonction du nombre de Reynolds. Comparaison avec des résultats de référence issus de la littérature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.33 Variation du coeﬃcient de traînée moyen C D en fonction du nombre de Reynolds. Comparaison avec des résultats de référence issus de la littérature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Diagramme bloc illustrant le contexte général de la théorie du contrôle linéaire. . . . . . . . . 46 2.2 Diagramme bloc illustrant la méthode de contrôle optimal LQR. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Diagramme bloc illustrant le ﬁltre de Kalman-Bucy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl de la consigne u b ( x t ) à atteindre. Equa-tion de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl u ( x t ) obtenu pour Φ = 0 . Equation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl optimal u opt ( x t ) . Equation de la chaleur. 57 2.7 Représentation en coordonnées espace-temps du contrôle distribué optimal Φ opt ( x t ) . Equation de de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.8 Représentation schématique des diﬀérentes approches de résolution du système optimal. Dis-cussion de la commutativité des étapes de discrétisation et de diﬀérentiation. . . . . . . . . . 64 2.9 Système optimal de l’équation de Burgers obtenu par l’approche diﬀérentiation discrétisation. 70 2.10 Résultats du contrôle distribué de l’équation de Burgers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.11 Evolution en fonction du nombre d’itérations de la fonctionnelle objectif J . Equation de Burgers. 72 2.12 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl de la consigne u 0 ( x ) à atteindre. Equa-tion de Burgers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.13 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl u ( x t ) obtenu pour Φ = 0 . Equation de Burgers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.14 Représentation en coordonnées espace-temps du proﬁl optimal u opt ( x t ) . Equation de Burgers. 73 2.15 Représentation en coordonnées espace-temps du contrôle distribué optimal Φ opt ( x t ) . Equation de Burgers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Interprétation géométrique de la SVD d’une matrice A : image par A de la sphère unité. . . . 80 3.2 Interprétation géométrique de la SVD d’une matrice A : rotation de l’espace des phases. . . . 80 3.3 Représentation schématique de POD classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4 Représentation schématique de la méthode des snapshots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1 Algorithme d’optimisation basé sur des modèles réduits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Représentation de la fonction spatiale c ( x ) associée aux conditions aux limites instationnaires contrôlées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.3 Valeurs propres de la matrice de corrélations temporelles dans le cas du cylindre non contrôlé ( γ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4 Isovaleurs de la norme des 6 premiers modes propres POD en écoulement non contrôlé ( γ = 0) . 106 4.5 Evolution temporelle des 6 premiers coeﬃcients de projection en écoulement non contrôlé ( γ = 0) . −− − a 1 et a 2 , − − − a 3 et a 4 , ∙ ∙ ∙ a 5 et a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.6 Isovaleurs de la norme des 6 premiers modes propres POD en écoulement contrôlé : γ ( t ) = A sin(2 πSt f t ) avec A = 2 et St f = 0  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.7 Énergie cinétique relative en fonction du nombre de modes POD retenus. . . . . . . . . . . . 111 4.8 Énergie cinétique relative en fonction du nombre de modes POD retenus (zoom). . . . . . . . 111 4.9 Evolution temporelle de l’erreur en norme L 2 entre les coeﬃcients de prédiction a n ( t ) et les coeﬃcients temporels "exacts" a ∗ n ( t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.10 Evolution de l’erreur totale en fonction du pas de temps d’intégration du système POD ROM. 112 4.11 Evolution de l’erreur totale en fonction du temps nécessaire à l’intégration du système POD ROM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

TABLE DES FIGURES

vii

4.12 Evolution du temps nécessaire à l’intégration du système POD ROM en fonction du pas de temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.13 Comparaison de l’évolution temporelle des 6 premiers modes propres projetés ( −− − ) et prédits ( − − − ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.14 Comparaison du contenu énergétique de chaque mode POD estimé respectivement avec les coeﬃcients de projection (POD) et les coeﬃcients de prédiction (POD ROM). . . . . . . . . . 114 4.15 Erreur en norme inﬁnie du contenu énergétique de chaque mode POD. . . . . . . . . . . . . . 114 4.16 Spectre énergétique et échelle de coupure POD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.17 Evolution de la fonctionnelle coût au cours du processus d’optimisation. . . . . . . . . . . . . 119 4.18 Valeurs des viscosités tourbillonnaires à ajouter dans le cas α i = Cste i . . . . . . . . . . . . . 120 4.19 Evolution temporelle des viscosités tourbillonnaires optimales ajoutées sur les 6 premiers modes POD pour α i = f i ( t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.20 Evolution temporelle des 6 premiers modes propres projetés et prédits avec α i = Cste i . . . . 120 4.21 Evolution temporelle des 6 premiers modes propres projetés et prédits avec α i = f i ( t ) . . . . . 120 4.22 Contenu énergétique de chaque mode POD. Estimation avec ajout et sans ajout ( α i = 0) de viscosités tourbillonnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.23 Erreur en norme inﬁnie du contenu énergétique de chaque mode POD. Estimation avec et sans ajout de viscosités tourbillonnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.24 Evolution temporelle de l’erreur commise sur la reconstruction des champs de vitesse par POD ROM pour diﬀérentes viscosités α i en comparaison de ceux déterminés par le modèle de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.25 Portraits de phase des 6 premiers coeﬃcients temporels a n sur 18 unités de temps pour α i = 0 . ♦ modes DNS ; −− − modes POD. Cylindre stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.26 Portraits de phase des 6 premiers coeﬃcients temporels a n sur 18 unités de temps pour α i = Cste i . ♦ modes DNS ; −− − modes POD. Cylindre stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.27 Portraits de phase des 6 premiers coeﬃcients temporels a n sur 18 unités de temps pour α i = f i ( t ) . ♦ modes DNS ; −− − modes POD. Cylindre stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.28 Portraits de phase des 6 premiers coeﬃcients temporels a n sur 18 unités de temps. ♦ modes DNS ; −− − modes POD. A gauche α i = 0 , au centre α i = Cste i et à droite α i = f i ( t ) . Cylindre stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.29 Lieu géométrique des valeurs propres du Jacobien du système POD pour Re = 40 , Re = 45 et Re = 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.30 Evolution de la valeur propre du Jacobien de plus grande partie réelle en fonction du nombre de Reynolds et détermination du nombre de Reynolds critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.31 Evolution du nombre de Strouhal en fonction du taux d’ampliﬁcation de la perturbation pour Re = 40 , Re = 45 et Re = 47 et détermination du nombre de Strouhal de la solution périodique.128 4.32 Lieu géométrique des valeurs propres de la matrice de Floquet du système POD pour Re = 100 (carrés blancs), Re = 150 (ronds gris) et Re = 180 (losanges noirs). . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.33 Zoom sur le lieu géométrique de la valeur propre de plus grand module de la matrice de Floquet pour le système POD, obtenue pour Re = 100 , Re = 150 et Re = 180 . . . . . . . . . . . . . . 130 4.34 Evolution de la valeur propre de la matrice de Floquet de plus grand module en fonction du nombre de Reynolds et détermination du nombre de Reynolds critique. . . . . . . . . . . . . . 130 5.1 Représentation schématique de la méthode d’optimisation POD en boucle ouverte. . . . . . . 134 5.2 Représentation schématique du processus d’optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3 Excitation temporelle γ e imposée au cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 Densité spectrale de puissance de l’excitation temporelle γ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.5 Comparaison des spectres de valeurs propres pour l’écoulement non contrôlé ( γ = 0 ) et pour l’écoulement manipulé ( γ = γ e ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6 Comparaison du contenu informationnel relatif pour l’écoulement non contrôlé ( γ = 0 ) et pour l’écoulement manipulé ( γ = γ e ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.7 Isovaleurs de la norme euclidienne des 6 premiers modes POD obtenus pour γ ( t ) = γ e ( t ) . . . 141 5.8 Evolution temporelle des 6 premiers coeﬃcients de prédiction pour γ ( t ) = γ e ( t ) : −− − a 1 et a 2 , − − − a 3 et ∙ ∙ ∙ a 4 , a 5 et a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.9 Evolution temporelle des 6 premiers coeﬃcients de prédiction pour γ ( t ) = γ opt ( t ) : −− − a 1 et a 2 , − − − a 3 et ∙ ∙ ∙ a 4 , a 5 et a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.10 Evolution des valeurs de la fonction objectif J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143