Développements – Factorisations Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition En cinquième vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : k ×××× ( c + d ) = k ×××× c + k ×××× d Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante : ( a + b ) ×××× ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b ( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac + bc + ad + bd Cette année, voici trois nouvelles relations, appelés identités remarquables : 2 2 2( a + b ) = a + 2ab + b 2 2 2( a – b ) = a – 2ab + b 2 2( a – b ) ( a + b ) = a – b Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième 2 2 2 2 2( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b 2 2 2 2 2( a – b ) = ( a – b ) ( a – b ) = a – ab – ba + b = a – 2ab + b 2 2 2 2( a – b ) ( a + b ) = a + ab – ba – b = a – b II Développement – Factorisation On appelle expression algébrique, une expression comprenant à la fois des nombres et des inconnues. ex : 2x + 5 – y et ( 3x – 4 ) ( 2x + 1 ) sont des expressions algébriques. On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres. 5ex : 2 × ( 3 + 4 ) – 5 et ( 4 – 5 ) × 3 sont des expressions numériques. Remarque : une expression numérique est aussi une expression algébrique. On appelle somme algébrique, une ...
Développements – Factorisations Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition En cinquième vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : k×(c+d) =k×c +k×dPuis enuatrième, vous avez découvert la relation suivante : (a+b)×(c+d) =ac+ad+bc+bdDémonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçantkpara+b(a+b)×(c+d) = (a+b)×c+ (a+b)×d=ac+bc+ad+bdCette année, voici trois nouvelles relations, appelés identités remarquables : 2 22 (a+b) =a+ 2ab+b2 22 (a–b) =a– 2ab+b2 2 (a–b) (a+b) =a–bDémonstration : on utilise la relation vue en quatrième 2 22 22 (a+b) =(a+b) (a+b) =a+ab+ba +b=a+ 2ab+b2 22 22 (a–b) =(a–b) (a–b) =a–ab–ba +b=a– 2ab+b2 22 2 (a–b) (a+b) =a+ab–ba–b=a–bII Développement – Factorisation On aelle exression alébri ue,une exression comrenant à la fois des nombres et des inconnues. ex : 2x+ 5 –yet ( 3x– 4 ) ( 2x+ 1 ) sont des expressions algébriques. On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres. 5 ex : 2×et ( 4 – 5 )( 3 + 4 ) – 5×3 sont des expressions numériques. Remarque : une expression numérique est aussi une expression algébrique. On appelle somme algébrique, une expression algébrique ne contenant aucune parenthèse et écrite comme sommes ou différences d’expressions algébriques3 52 ex : 2x+4x–1 4x–4 2x–5x+2 sontdes sommes algébriques. Troisième – Développements, factorisations 1
Dévelo erune exression alébri ue,c’est la transformer en une somme alébri ue Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit de sommes algébriquesDéveloppementk×(c+d) =k×c +k×d (a+b)×(c+d) =ac+ad+bc+bd 2 22 (a+b) =a+ 2ab+b 2 22 (a–b) =a– 2ab+b 2 2 (a–b) (a+b) =a–b Factorisation III Exemples L’ensemble des exemples ci-dessus a pour objectif de vous montrer l’ensemble des compétences attendues par un élève en fin de troisième. a) Développement 2 2 A = (b+ 2 ) (b– 3 ) =b– 3b+ 2b=– 6b–b– 6 2 2 B = (b– 5 ) ( -5 –b) = -5b–b+ 25 + 5b= 25 –bC = 5 ( 3 –d) +( 7 –d)×3= 15 – 5d+ 21 – 3d= 36 – 8d2 22 D = (q– 4 ) (q– 3 ) –5 (q+ 3 )=q– 3q–q+ 12 – (5q+ 15) =q– 4q+ 12 – 5q– 15 =q– 9q– 3 2 2 E = (d– 3 )=d– 6d+ 9 22222 2 F = (h– 5 )–(h– 8 )=h– 10h+ 25 – (h– 16h+ 64) =h– 10h+ 25 –h+ 16h– 64 = 6h– 39 22 G =(a– 2 ) ( 2a– 4 )( 1 –a) = (2a– 4a– 4a+ 8) ( 1 –a) = ( 2a– 8a+ 8 ) ( 1 –a) 2 32 32 G = 2a– 2a– 8a+ 8a+ 8 – 8a= -2a+ 10a– 16a+ 8 32 23 2 2 H = (h+ 3 )=(h+ 3 )(h+ 3 ) = (h+ 6h+ 9) (h+ 3 ) =h+ 3h+ 6h+ 18h+ 9h+ 27 3 2 H =h+ 9h+ 27h+ 27 b) Factorisations On a volontairement mis des lettres majuscules dans les sous-titres pour faire comprendre que l’on peut mettre n’importe quelle expression algébrique à la place d’une lettre majuscule. Exemple :KA+KB=K(A+B) 2 On peut prendreK = 2h+ 3,A =h+ 1etB = 62 22 On obtient alors :( 2h+ 3 )(h+ 1 )+( 2h+ 3 )×6=( 2h+ 3 )[(h+ 1 )+6] = ( 2h+ 3 ) (h+ 7 ) Troisième – Développements, factorisations 2
Factorisations en deux temps 2 X = (h+ 1 ) (h+ 2 ) +h+ 2h+ 1 2 X =(h+ 1 )(h+ 2 ) + (h+ 1) X =(h+ 1 )[h+ 2 +h+ 1 ] X = (h+ 1 ) ( 2h+ 3 ) Y a plus rien à ajouter …. Zzzzzz : vous avez bien mérité un petit repos si vous êtes arrivés sans encombre jusqu’ici