Cours d'Initiation à la Statistique

Chapitre 1Éléments aléatoires d’un BanachDans la théorie classique des probabilités, une variable aléatoire ou un vecteur aléa-dtoire sont des applications mesurables d’un espace (Ω,F) dansR ouR munis de leurtribu borélienne. Dans le cas où l’espace d’arrivée est un espace de Banach B, on par-lera plutôt d’élément aléatoire, é.a., mais ceci suppose une clarification préalable sur lestribus concernées par la mesurabilité requise.1.1 Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans unBanachSur un espace de Banach, on considère naturellement les deux tribus suivantes :– B est la tribu borélienne de B engendrée par les ouverts de la topologie forte. Ondit qu’un é.a. X défini sur un espace mesurable (Ω,F) et à valeurs dans B estborélien s’il estF-B mesurable. On dit aussi que X est fortement mesurable.1– C est la tribu cylindrique : c’est la plus petite tribu rendant mesurables toutes0 0les ϕ∈B , dual topologique de B. C’est aussi la tribu engendrée par les σ(B,B )ouvertsdeB.LorsqueB =C[0,1],cettetribucorrespondàcelleconstruiteàpartirdes observations des valeurs d’une trajectoire en un nombre fini de points et estbien connue en théorie des processus stochastiques. Si X : Ω → B est mesurableF-C, on dit qu’il est faiblement mesurable.Proposition 1.1. Si B est séparable, les tribus borélienne et cylindrique sur B sont lesmêmes.0Preuve. On a toujoursC⊂B car tout ouvert faible σ(B,B ) est ouvert fort.Pour établir l’inclusion dans l’autre sens, on prouve que tout ...