Cours d'Initiation à la Statistique

Syas - Charles Suquet

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Chapitre 1Éléments aléatoires d’un BanachDans la théorie classique des probabilités, une variable aléatoire ou un vecteur aléa-dtoire sont des applications mesurables d’un espace (Ω,F) dansR ouR munis de leurtribu borélienne. Dans le cas où l’espace d’arrivée est un espace de Banach B, on par-lera plutôt d’élément aléatoire, é.a., mais ceci suppose une clariﬁcation préalable sur lestribus concernées par la mesurabilité requise.1.1 Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans unBanachSur un espace de Banach, on considère naturellement les deux tribus suivantes :– B est la tribu borélienne de B engendrée par les ouverts de la topologie forte. Ondit qu’un é.a. X déﬁni sur un espace mesurable (Ω,F) et à valeurs dans B estborélien s’il estF-B mesurable. On dit aussi que X est fortement mesurable.1– C est la tribu cylindrique : c’est la plus petite tribu rendant mesurables toutes0 0les ϕ∈B , dual topologique de B. C’est aussi la tribu engendrée par les σ(B,B )ouvertsdeB.LorsqueB =C[0,1],cettetribucorrespondàcelleconstruiteàpartirdes observations des valeurs d’une trajectoire en un nombre ﬁni de points et estbien connue en théorie des processus stochastiques. Si X : Ω → B est mesurableF-C, on dit qu’il est faiblement mesurable.Proposition 1.1. Si B est séparable, les tribus borélienne et cylindrique sur B sont lesmêmes.0Preuve. On a toujoursC⊂B car tout ouvert faible σ(B,B ) est ouvert fort.Pour établir l’inclusion dans l’autre sens, on prouve que tout ...

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Chapitre 1

Éléments aléatoires d’un Banach

Dans la théorie classique des probabilités, une variable aléatoire ou un vecteur aléa-toire sont des applications mesurables d’un espace(Ω,F)dansRouRdmunis de leur tribu borélienne. Dans le cas où l’espace d’arrivée est un espace de BanachB, on par-lera plutôt d’élément aléatoire, é.a., mais ceci suppose une clariﬁcation préalable sur les tribus concernées par la mesurabilité requise.

1.1 Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans un Banach Sur un espace de Banach, on considère naturellement les deux tribus suivantes : –Best la tribu borélienne deBengendrée par les ouverts de la topologie forte. On dit qu’un é.a.Xdéﬁni sur un espace mesurable(Ω,F)et à valeurs dansBest borélien s’il estF-Bmesurable. On dit aussi queXestfortementmesurable. –Cest la tribu cylindrique1: c’est la plus petite tribu rendant mesurables toutes lesϕ∈B0, dual topologique deB. C’est aussi la tribu engendrée par lesσ(B, B0) ouverts deB. LorsqueB=C[0,1], cette tribu correspond à celle construite à partir des observations des valeurs d’une trajectoire en un nombre ﬁni de points et est bien connue en théorie des processus stochastiques. SiX: Ω→Best mesurable F-C, on dit qu’il estfaiblementmesurable. Proposition 1.1.SiBest séparable, les tribus borélienne et cylindrique surBsont les mêmes. Preuve.On a toujoursC⊂Bcar tout ouvert faibleσ(B, B0)est ouvert fort. Pour établir l’inclusion dans l’autre sens, on prouve que tout ouvert fort est dansC en montrant que a) SiBest séparable, tout ouvert deBest réuniondénombrablede boules ouvertes. b) SiBest séparable, toutebouleouverte appartient àC. 1. Abus de langage pourtribu engendrée parles ensembles cylindriques

Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

Preuve de a).SoitWun ouvert fort deB. Comme il hérite de la séparabilité deB, il existe une suite{xi,i∈N}dense dansW. On vériﬁe alors queWest égal à la réunion dénombrable V:=[Δ(xi, r), i∈N, r∈Q Δ(xi,r)⊂W oùΔ(xi, r) :={x∈B;kx−xik< r}. Par constructionVest inclus dansW. Pour montrer l’inclusion inverse, considérons un élémentxquelconque deW. PuisqueW est ouvert, il existe un rationnelr >0suﬃsamment petit pour queΔ(x,2r)⊂W. Par densité de la suite{xi,i∈N}dansW, on peut alors trouver unxiktel quekxik−xk< r. Alors touty∈Δ(xik, r)vériﬁeky−xk ≤ ky−xikk+kxik−xk<2r, doncy∈ Δ(x,2r)⊂W. On en déduit queΔ(xik, r)⊂Wet commex∈Δ(xik, r), ceci montre quexappartient àV. Ceci étant vrai pour toutxdeW, on a bienW⊂Vet ﬁnalement W=V. Preuve de b).Il est clair qu’il suﬃt de montrer que la boule unitéΔ := Δ(0,1)est dansC. On sait, cf. cours d’Analyse Fonctionnelle Appliquée, que siBest de dimension inﬁnie,Δn’est pas un ouvertde la topologieσ(B, B0). CommeΔ =ϕ−1(]− ∞,1[)avec ϕ:B→R,x7→ kxk, il nous suﬃt en fait de montrer queϕest mesurableC-Bor(R), où Bor(R)désigne la tribu borélienne deR. Par séparabilité deB, on dispose d’une suite {xi,i∈N}dense dansB. On peut alors lui associer une suite{fi,i∈N}dansB0 telle que pour touti,kfikB0= 1etfi(xi) =kxik, l’existence de cette suite résultant du théorème de Hahn-Banach. Nous allons vériﬁer queϕ= supi∈N|fi|, ce qui entraînera sa mesurabilité comme sup d’une familledénombrabled’applicationsC-Bor(R)mesurables. D’une part puisque lesfisont de norme1dansB0, on a pour toutx∈B, et tout i∈N,kxk ≥ |fi(x)|d’oùkxk ≥supi∈N|fi(x)|, autrement dit,ϕ≥supi∈N|fi|. D’autre part, pour chaquexdeB, il existe une sous-suite(xik)k≥1convergeant fortement versx. Cette convergence entraîne celle des normes et on peut écrire : kxkB=kl→i+m∞kxikkB=kl→i+mfik(xik) =kl→i+m∞fik(x)≤siu∈Np|fi(x)|, ∞ en utilisant pour la dernière égalité le fait que kfik(xik)−fik(x)kB≤ kfikkB0kxik−xkB=kxik−xkkB−−→−+−∞→0. Commexétait quelconque, on en déduit queϕ≤supi∈N|fi|et ﬁnalement queϕ= supi∈N|fi|. La preuve de la proposition1.1est terminée. SiBn’est pas séparable, on n’a plus en généralB=C, ce qui cause quelques ennuis. Voici un autre inconvénient de la non-séparabilité du point de vue de la mesurabilité : si les topologiesT1etT2surB1etB2ne sont pas à base dénombrable, en général B1⊗B26=σ(T1⊗ T2), autrement dit :σ(T1)⊗σ(T2)6=σ(T1⊗ T2).On se heurte donc à un problème pour montrer que la mesurabilité deXetYimplique celle deX+Ypar exemple.

Ch.Suquet,Cours P.E.F. 2006

1.1. Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans un Banach

Une façon de surmonter ce problème de non-séparabilité de l’espace est de supposer que l’image d’un é.a.Xest séparable (à un ensemble de mesure nulle près). Ceci nous amène à déﬁnir les é.a. de Radon. Déﬁnition 1.2.Un é.a. borélienX: Ω→Best dit régulier relativement aux compacts, ou de Radon ou tendu si : ∀ε >0,∃Kcompact,P(X∈K)≥1−ε. Remarque 1.3.SiBﬁnie, tout é.a. borélien (par assimilation deest de dimension Bà Rdd’un vecteur aléatoire au sens classique) est tendu. Exercice laissé au, il s’agit donc lecteur (démontrez le directement sans utiliser la proposition1.4ci-dessous). Proposition 1.4.Xest tendu si et seulement s’il prend presque sûrement ses valeurs dans un s.e.v. fermé séparableEdeB, i. e.P(X∈E) = 1. Dans la suite, on notePXla loi deXqui est une probabilité sur la tribu borélienne deB:PX(A) =P(X∈A). Preuve.SiXest tendu, il existe une suitecroissante(Kn)n≥1de compacts deB(Kn⊂ Kn+1) telle que : ∀n≥1, P(X∈Kn)≥1−n1. Par continuité séquentielle croissante de la mesureP, on en déduit que = limP(X∈ P(X∈n≥∪1Kn)n→+∞Kn) = 1. L’union desKnétant séparable (pourquoi on prend pour ?),Ele s.e.v.fermé2deB engendré par cette réunion. En eﬀetEest alors lui aussi séparable (justiﬁez) etP(X∈ E) = 1. Réciproquement, siEest un s.e.v. fermé séparable deBvériﬁantP(X∈E) = 1et si{xk, k∈N}est une suite dense dansE, on a : ∀n≥1, Ek,1 ⊂[Δ(nx), k∈N en notantΔ(x, r)la boule fermée de centrexet de rayonr. On en déduit que pour tout n≥1,PXk∈∪NΔ(xk,1/n)= 1d’où en utilisant la continuité séquentielle croissante de PX, ε ∀n≥1,∃N(n), PXk≤N∪(n)Δ(xk,1/n)≥1. − 2n On prend alors : Δxk K=K(ε) =n∩≥1k≤N∪(n)(,1/n). 2. En dimension inﬁnie, un sous-espace vectoriel n’est pas toujours borélien. Le fait de prendreE fermé est donc une utile précaution.

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Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

On a bien : +∞ PX(Kc)≤X2εn=ε, n=1 d’oùP(X∈K)≥1−ε. De plusKest compact car fermé dansBcomplet donc complet lui-même et pour toutδ >0, il est clair que l’on peut recouvrirKpar un nombre ﬁni de boules de rayonδ(précompacité3). Proposition 1.5.SiXetYsont des é.a. de Radon telles que∀f∈B0f(X)etf(Y) , ont même loi, alorsXetYont même loi. Preuve.PuisqueXetYsont de Radon, il existe un s.e.v. fermé séparableEdeB tel queP(X∈EetY∈E) = 1. La tribu borélienne deEet sa tribu cylindrique (engendrée parE0) coïncident. Touteg∈E0admet par le théorème de Hahn-Banach un prolongementg˜en une forme linéaire continue surB. On a clairementg(X) =g˜(X) p.s. etg(Y) =g˜(Y)p.s., on en déduit en utilisant l’hypothèse, que pour toutg∈E0, g(X)etg(Y)ont même loi. Comme la tribu borélienneBEdeEcoïncide avec sa tribu cylindriqueCE, on peut montrer quePXetPYsont égales sur la tribu borélienne deE puis en déduire queXetYont même loi. Voici comment faire. La tribuCsurEest engendrée par les cylindres,i. e.les ensembles de la forme C=∩in=1gi−1(Di)où lesDisont des boréliens deR. En passant par la caractérisation des lois en dimension ﬁnie par leurs fonctions caractéristiques, on vériﬁe que les vecteurs aléatoiresU:= (g1(X), . . . , gn(X))etV:= (g1(Y), . . . , gn(Y))ont même loi. En eﬀet pour toutt= (t1, . . . , tn)dansRn, on a ϕU(t) =Eexp(iht, Ui) =Eexp(ih(X)) oùhest la forme linéaire continuet1g1+∙ ∙ ∙+tngn. Par hypothèseh(X)eth(Y)ont même loi, ce qui entraîne que les variables aléatoires complexesbornéesexp(ih(X))et exp(ih(Y))ont même loi donc même espérance. Ceci peut se réécrireϕU(t) =ϕV(t) et commetétait quelconque, on en déduitϕU=ϕV, ce qui montre que les vecteurs aléatoiresUetVdeRnont même loi. Ce raisonnement est valable pour toutn≥1et tout choix deg1, . . . , gndansB0. On en déduit quePX(C) =PY(C)pour tout cylindreC. Pour justiﬁer cette aﬃrma-tion, on écrit : PX(C) =PX∈i=∩n1gi−1(Di) =P∀i= 1 X, . . . , n,∈gi−1(Di) =P∀i= 1 g, . . . , n,i(X)∈Di =Pg1(X), . . . , gn(X)∈D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn =PU∈D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn=PU(D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn). 3. Rappel : un espace métrique est dit précompact si son complété est compact. Un espace métrique est précompact si et seulement si pour toutδ >0, on peut le recouvrir par un nombre ﬁni de boules de rayonδ.

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1.2. Intégrale de Bochner

De mêmePY(C) =PV(D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn). Comme les vecteurs aléatoiresUetVdeRnont même loi,PU(D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn) =PV(D1× ∙ ∙ ∙ ×Dn), d’oùPX(C) =PY(C). La classe des cylindres est stable par intersection ﬁnie et engendre la tribuC, donc PXetPYcoïncident surCE, donc surBE. Enﬁn pour tout borélienAdeB, PX(A) =PX(A∩E) =PY(A∩E) =PY(A).

Corollaire 1.6.SiXé.a. de Radon à valeurs dansest un B, safonctionnelle caracté-ristiquedéﬁnie surB0par ϕX(f) =Eexp(if(X)), f∈B0, détermine la loi deX. Pour déﬁnir l’espérance d’un élément aléatoire, il y a deux approches concurrentes : La première consiste à adapter la construction de l’intégrale de Lebesgue des fonctions Ω→Rau cas des fonctions à valeurs dansB. Rassurez vous, cela ira beaucoup plus vite, justement parce que l’on dispose déjà de l’intégrale de Lebesgue des fonctions à valeurs réelles. Cette approche conduit à la notion d’intégrale « forte » ou « de Bochner ». La deuxième approche consiste à utiliser les formes linéaires continues surBpour se ramener en dimension1et à déﬁnir l’espérance deXimplicitement par l’égalité f(EX) =Ef(X)pour toutef∈B0 ou intégrale faible ». On parle alors d’intégrale « « de Pettis ». Nous allons examiner ces deux constructions et les comparer.

1.2 Intégrale de Bochner Dans toute cette section, on travaille avec un espace mesuré(Ω,F, µ)ﬁxé,Fest une tribu surΩetµune mesure positive sur(Ω,F), pas nécessairement une probabilité. Déﬁnition 1.7(fonction simple).Une fonctionX: Ω→Best ditesimplesi elle peut s’écrire n X=Xxi1Ai,(1.1) i=0 oùA0, A1, . . . , An∈F,x0, x1, . . . , xn∈B, avecµ(Ai)<+∞pour touti= 0, . . . , net lesAideux à deux disjoints. Notons queXest constante sur chaqueAi(∀ω∈Ai,X(ω) =xi) et nulle en dehors de∪Ai ue o. La déc 0≤i≤nomposition ci-dessus n’est en général pas uniq ( n n’impose pas auxxid’être tous distincts). Déﬁnition 1.8(intégrale de Bochner d’une fonction simple).SiXest simple, on déﬁnit son intégrale de Bochner (surΩ, relativement àµ) par ZΩi=nX0xiµ(Ai),(1.2 Xdµ:=) où lesxiet lesAisont ceux fournis par (1.1).

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Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

Bien sûr on voit immédiatement que cette déﬁnition pose un problème de cohérence lié à la non unicité de la décomposition (1.1). Réglons ce problème en montrant que si X=Pin=0xi1Ai=Pjm=0yj1Bj, lesBjétant eux aussi deux à deux disjoints et de mesure ﬁne, alorsPni=0xiµ(Ai) =Pjm=0yjµ(Bj). Posons An+1:= Ω\i=∪n0Ai, Bm+1:= Ω\mj∪=0Bj. Soitiun indice pour lequelxi6= 0. Alors on a Ai=Ai∩mj∪1+=0Bj=jm=∪0+1(Ai∩Bj) =j∪=m0(Ai∩ Bj), en remarquant queAi∩Bm+1=∅puisque siω∈Ai∩Bm+1, on doit avoir à la fois X(ω) =xi6= 0carω∈AietX(ω) = 0carω∈Bm+1, ce qui est contradictoire. De n même siyj6= 0,Bj=i∪0(Ai∩Bj). Remarquons aussi que siAi∩Bj6=∅, nécessairement = xi=yjpuisqueXest constante valantxisurAiet constante valantyjsurBj. Nous pouvons maintenant écrire n n n m n m Xxiµ(Ai) =Xxiµ(Ai) =XxiXµ(Ai∩Bj) =XxiXµ(Ai∩Bj) i=0i=0,xi6=0i=0,xi6=0j=0i=0j=0 n m =X Xxiµ(Ai∩Bj) i=0j=0 n m =X Xyjµ(Ai∩Bj) i=0j=0 m n =XyjXµ(Ai∩Bj) j=0i=0 m n =XyjXµ(Ai∩Bj) j=0,yj6=0i=0 m =Xyjµ(Bj) j=0,yj6=0 m =Xyjµ(Bj). j=0 Remarques 1.9.que l’intégrale de Bochner des fonctionsOn voit immédiatement simples est linéaire : ZΩ(aX+bY) dµ=aZΩXdµ+bZΩYdµ,(1.3) pour tous réelsaetbet toutes fonctions simplesXetY. Notons au passage que même si Bpour la mesurabilité de la sommen’est pas séparable, il n’y a pas de problème X+Y

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1.2. Intégrale de Bochner de deux focntions simples car on peut l’écrire comme une somme ﬁnie d’indicatrices d’éléments de la tribuF. De plus pour toute fonction simpleX, on a ZΩXdµ=i=nX0xiµ(Ai)≤iXn0kxiZΩ1.4) kµ(Ai) =kXkdµ.( = Cette dernière intégrale est une intégrale au sens classique de Lebesgue de la fonction mesurable positivekXk: Ω→R+. Déﬁnition 1.10(Intégrale de Bochner).SoitXfortement mesurableΩ :→B. On dit queXestµ-Bochner intégrable s’il existe une suite de fonctions simplesXntelle que X−µ−−−p.−p.→ nn→+∞X(1.5) et ZΩkXn−Xkdµ−n−→−+−∞→0.(1.6) On pose alors ZBonechrΩXdµ=ZΩXdµ:=nl→i+m∞ZΩXndµ.(1.7) Dans cette déﬁnition, l’intégrale utilisée dans (1.6) est une intégrale au sens de Le-besgue. En particulier siµest une probabilité, on peut aussi l’écrireEkXn−Xk. L’in-tégraleRΩXndµutilisée dans (1.7) est l’intégrale de Bochner d’une fonction simple au sens de (1.2). Nous n’utiliserons la notation plus lourdeRnechrΩBoque lorsqu’il s’agira de comparer intégrale de Bochner et intégrale de Pettis. Dans toute la suite de cette section, nous emploierons la notation simpliﬁéeRΩXdµpour l’intégrale de Bochner deX. La déﬁnition1.10nécessite quelques justiﬁcations que nous détaillons maintenant. L’espace de BanachBétant complet, on établit l’existence delimn→+∞RΩXndµen vériﬁant que la suite RΩXndµn≥1est de Cauchy comme suit : ZΩXndµ−ZΩXmdµ=ZΩ(Xn−Xm) dµpar (1.3), ≤ZkXn−Xmkdµpar (1.4), Ω ≤ZΩkXn−Xkdµ+ZΩkXdµ −Xmk <2ε,∀n, m≥N(ε)par (1.6). Montrons maintenant que la limiteRΩXdµpas du choix de la suite approxi-ne dépend mantexn. Soit donc(Yn)n≥1une autre suite de fonctions simples telles queYnµ−−−p.−p→.X etkYn−Xk−→0. L’argument donné ci-desssus montre que(RΩYndµ)n≥1est une suite de Cauchy dansB. Posons alors x:=nl→i+mZXndµ, y:=nl→i+m∞ZΩYndµ ∞Ω Ch.Suquet,Cours P.E.F. 20067

Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

et déﬁnissons la suite(Zn)n≥1de fonctions simples parZ2k:=Xk,Z2k+1:=Xk+1. Comme la suite(Zn)vériﬁe elle aussi la condition (11e de Cauchy dansBdonc a une limitezdans.6Btiéngtréatleeds’egral,.)alustsiedieuesCenttisRaΩuZnnedsµouns-≥stsetiu convergeant versxet une autre convergeant versydoncz=x=y. Lemme 1.11.SiBest séparable etµﬁnie, toute application fortement mesurableX: (Ω,F, µ)→(B,B)est limiteµ-p.p. d’une suite(Xn)de fonctions simples. Preuve.PuisqueBest séparable, nous disposons d’une suite(xi)i≥1dense dansB. On a alors pour toutδ >0, un recouvrement dénombrable deBpar des boules fermées de rayonδ: B=∪N∗Δ(xi, δ). i∈ On en déduit un recouvrement dénombrable deΩpar les ensemblesX−1Δ(xi, δ)∈F. Par continuité séquentielle croissante de la mesureµ, on a i=1Δ(xi, δ)↑Ω =⇒µNi=∪1X−1Δ(xi, δ)↑µ(Ω),(↑). ∪NX−1N+∞ Ceci étant vrai pour toutδ >0etµ(Ω)étantﬁni, on en déduit : ∀δ >0,∀η >0,∃N=N(δ, η), µNi=∪1X−1Δ(xi, δ)> µ(Ω)−η. Prenant maintenantδ= 1/netη= 2−n, on obtient ∀n≥1,∃Nn, µiN=∪n1X−1Δ(xi,1/n)> µ(Ω)−2−n . Posons A1,n:=X−1Δ(x1,1/n), . . . , Ak,n:=ik=∩−11Acin,∩X−1Δ(xk,1/n),2≤k≤Nn. Après eﬀacement desAk,nvides, on construit ainsi une partition ﬁnie{Aj,n;j∈Jn} deN∪nX i=1−1Δ(xi,1/n). On choisit unωjdans chacun desAj,nnon vides et on pose yj:=X(ωj). Notons que par construction,yj∈Δ(xj,1/n). On déﬁnit alors la fonction simpleXnen posant : Xn:=Xyj1Aj,n. j∈Jn Par constructionµ{ω∈Ω;kX(ω)−Xn(ω)k>1/n}<2−n, d’où µ∪{ω∈Ω;kX(ω)−Xn(ω)k>1/n}≤X2−n= 2−m+1.(1.8) n≥m≥ n m Posons