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Catalan

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CHAPITRE5TRANSFORMATIONDELAPLACE5.1 Déﬁnitionetconditionsd’existenceNotation.OnnoteR=R∪{±∞}.Proposition5.1.1+Soit f :R 7!Cunefonction continue.On supposequ’ilexisteZ Z∞ ∞−p t −pt0p = x + iy ∈ C tel que f(t) e dt converge. Alors f(t)e dt0 0 00 0converge simplementpourtoutptelqueRep> x0Preuve. Z Z∞ ∞−tp −tp0e ePosonsF(p)= f(t) dt.F(p )= f(t) dtestalorsconvergente.00 0 Z u+ −tp0eSoientϕ,ψdeuxfonctionsdéﬁniesdeR dansCparϕ(t)= f(t) etψ(u)= ϕ(t)dt.0Alorson a:a) ϕestcontinue car f l’est′b) ψestcontinue carelleestdérivable,(ψ (u)=ϕ(u))c) limψ(u)=F(p )∈Ccequiimpliquequeψestbornée0u→∞Posons sup|ψ(u)|=Metsoientu> 0etp=x+iy∈Ctelquex> x .0+u∈RZ Z Z Zu u u u−tp −tp −tp tp tp −(p−p ) −t(p−p )0 0 0 0 0e e e e e e ef(t) dt= f(t) dt= f(t) dt= ϕ(t) dt.0 0 0 0Intégronsparparties:−t(p−p ) −t(p−p )0 0e eU= =⇒ dU=−(p−p ) .dV=ϕ(t)dt=⇒ V=ψ.0Z Zu uu−tp −t(p−p ) −t(p−p )0 0e e ef(t) dt=ψ(t) +(p−p ) ψ(t) dt=000 0Z u−u(p−p ) −t(p−p )0 0=ψ(u)e +(p−p ) ψ(t)e dt.0071Z ∞−t(p−p )0Etudionslaconvergence del’intégrale: ψ(t)e dt:0Z Z Zu u u −t(p−p ) −t(p−p ) −t(x−x )0 0 0 ψ(t)e dt ≤ ψ(t)e dt≤M e dt 0 0 0−u(x−x )0M(1−e ) M= ≤ .x−x x−x0 0Z u −t(p−p ) +0 e D’autre part, la fonction u 7! ψ(t) dt est croissante dansR . Il résulte que0Z ∞−t(p−p ) −u(x−x )0 0e eψ(t) dt est absolument convergente. Comme lim = 0 (car x > x ),0u→∞0Z Zu u−tp −u(x−x ) −u(p−p )0 0e e ef(t) dt=ψ(u) +(p−p ) ψ(t) dtadmetunelimitequandu→∞.00 0Z ∞−tpef(t) ...

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Publié par	Novig
Nombre de lectures	39
Langue	Catalan

Extrait

CHAPITRE 5

TRANSFORMATION DELAPLACE

5.1

Déﬁnition et conditions d’existence

Notation. On noteR=R∪ {±∞}.

Proposition 5.1.1 + Soitf:R7→Cune fonction continue. On suppose qu’il existe Z Z ∞ ∞ −p0t−pt p0=x0+iy0∈Ctel quef(t) edtconverge. Alorsf(t)edt 0 0 converge simplement pour toutptel queRep>x0

Preuve. Z Z ∞ ∞ −tp−tp0 PosonsF(p)=f(t)edt.F(p0)=f(t)edtest alors convergente. 0 0 Z u +−tp0 Soientϕ, ψdeux fonctions déﬁnies deRdansCparϕ(t)=f(t)e etψ(u)=ϕ(t)dt. 0 Alors on a : a)ϕest continue carfl’est ′ b)ψest continue car elle est dérivable, (ψ(u)=ϕ(u)) c) limψ(u)=F(p0)∈Cce qui implique queψest bornée u→∞ Posons sup|ψ(u)|=Met soientu>0 etp=x+iy∈Ctel quex>x0. + u∈R Z Z Z Z u u u u −tp−tp−tp0tp0tp0−(p−p0)−t(p−p0) f(t)edt=f(t)e e edt=f(t)e edt=ϕ(t)edt. 0 0 0 0 Intégrons par parties : −t(p−p0)−t(p−p0) U=e=⇒dU=−(p−p0)e .dV=ϕ(t)dt=⇒V=ψ. Z Z u u u −tp−t(p−p0)−t(p−p0) f(t)edt=ψ(t)e+(p−p0)ψ(t)edt= 0 Z 0 0 u −u(p−p0)−t(p−p0) =ψ(u)e+(p−p0)ψ(t)edt. 0

Z ∞ −t(p−p0) Etudions la convergence de l’intégrale :ψ(t)edt: 0 Z Z Z u u u −t(p−p0)−t(p−p0)−t(x−x0) ψ(t)edt≤ψ(t)edt≤Medt  0 0 0 −u(x−x0) M(1−e )M =≤. x−x0x−x0 Z u −t(p−p0)+ D’autre part, la fonctionu7→ψ(t)edtest croissante dansR. Il résulte que 0 Z ∞ −t(p−p0)−u(x−x0) ψ(t)edtlim eest absolument convergente. Comme =0 (carx>x0), u→∞ Z Z 0 u u −tp−u(x−x0)−u(p−p0) f(t)edt=ψ(u)e+(p−p0)ψ(t)edtadmet une limite quandu→ ∞. 0 0 Z ∞ −tp f(t)edtest simplement convergente pourx>x0. 0

Corollaire 5.1.1 Z ∞ −tp0 S’il existep0=x0+iy0∈Ctel quef(t)edtconverge absolument 0 Z ∞ −tp e alorsf(t)dtconverge normalement pour toutp∈Ωx0. 0

Preuve. Soitp=x+iy∈Ctel quex≥x0. −tp−tx−tx0−tp0 |f(t)e|=|f(t)|e≤ |f(t)|e=|f(t)e|

Déﬁnition 5.1.1 + Soitf:R7→Cune fonction continue. 1. On appelle transformée deLaplace def, la fonctionL(f) déﬁnie par : Z ∞ −tp L(f)(p)=f(t)edt. 0 + 2. On appelle transformation deLaplace, l’applicationL:C(R,C)7→ F(C) déﬁ nie parL(f)

+ On peut étendre cette déﬁnition aux cas des fonctionsf:R7→Cayant les propriétés suivantes : a)fest continue par morceaux, c’estàdire que sur chaque intervalle ﬁni de la forme [a,b],a<b, les discontinuités def(si elles existent) sont en nombre ﬁni et sont de première espèce. b)fest d’ordre exponentielle, c’estàdire qu’il existeM>0 etα∈Rtels que αt |f(t)| ≤MLa continuité intervient lorsqu’on parlera de la transformé inversee . deLaplace. Z ∞ −tp Sous ces conditions, il est facile de vériﬁer quef(t)edtconverge pour toutp 0 vériﬁantRe(p)> αet on peut alors parler de transformée deLaplace def. Le problème est comment déterminer « le meilleur »p∈Cpour que la transformée deLaplace soit convergente. On admet le théorème suivant :

er M ANE

Théorème 5.1.1 + Soitf:R7→Cune fonction continue ; 1. Il existe un uniquea∈Rtel que Z ∞ −tp Re(p)>a=⇒f(t)edtconverge simplement. Z 0 ∞ −tp Re(p)<a=⇒f(t)edtdiverge. 0 aest appelé abscisse ce convergence simple. 2. Il existe un uniqueb∈Rtel que Z ∞ −tp Re(p)>b=⇒f(t)edtconverge absolument. Z 0 ∞ −tp Re(p)<b=⇒f(t)edtne converge pas absolument. 0 best appelé abscisse de convergence absolue.

Exemple 5.1.1 1) Soit la fonction constantef(t)=asit≥0 etf(t)=0 sit<0. Z Z ∞ ∞ h i h i a a a ∞ ∞ −tp−tp−tp−tx−ity L(f)(p)=aedt=aedt=−e=−e e= 0 0 p p p 0 0 −ity−tx siRe(p)>0 ; car|e|=1 (bornée) et e ne converge à plus l’inﬁni que six=Re(p)>0.

αt 2)f(t)=e pourt≥0 etf(t)=0 sit<0,α=a+ib∈C. Z Z ∞ ∞ h i h i −1−1 ∞ ∞ αt−tp−t(p−α)−t(p−α)−t(x−a)−it(y−b) L(f)(p)=e edt=edt=e=e e= 0 0 p−αp−α 0 0 1 siRe(p)=x>Re(α)=a p−α

5.2

Propriétés

5.2.1 Linéarité Proposition 5.2.1 + Soitf,g:R7→Cdeux fonctions admettant des transformées de LaplaceL(f) etL(g) et soientα, β∈R. Alors

Preuve. C’est immédiat.

L(αf+βg)=αL(f)+βL(g)

Grâce à cette proposition on peut déterminer la transformée de laLaplace des fonc iαt−iαt iαt−iαt e+e e−e tions sinus et cosinus car cosαt=et sinαt= 2 2i . Exercice. Montrer que, en utilisant la proposition (5.2.1) et les exemples (5.1.1) qu’on a :

er M ANE

p L(cosωt)(p)=siRe(p)>|Im(ω)|. 2 2 p+ω ω L(sinωt)(p)=siRe(p)>|Im(ω)|. 2 2 p+ω

5.2.2 Transformée deLaplace de la translation + Soitf:R7→Cune fonction vériﬁantf(t)=0 sit<0 et admettant une transformée deLaplaceL(f)(p). On considère la fonctionfαdéﬁnie parfα(t)=f(t−α) ; (α >0).

Proposition 5.2.2

−αp L(fα)(p)=eL(f)(p)

Preuve.  f(t−α)si t−α≥0 Remarquons d’abord quefα(t)= 0si t−α <0 Z Z Z ∞ ∞ ∞ −tp−tp−tp L(fα)(p)=fα(t)edt=f(t−α)edt=f(t−α)edt. 0 0α En posantx=t−α, on obtient : Z Z ∞ ∞ −(α+x)−αp−xp L(fα)(p)=f(x)edx=f(x)e edx Z 0 0 ∞ −αp−xp−αp =ef(x)edx=eL(f)(p) 0

5.2.3 Transformée deLaplace de l’homothétie + Soitk>0 etf:R7→Cune fonction vériﬁantf(t)=0 sit<0 et admettant une transformée deLaplaceL(f). Soitfkla fonction déﬁnie parfk(t)=f(kt).

Proposition 5.2.3   1p L(fk)(p)=L(f) k k Preuve. Z Z ∞ ∞ −tp−tp L(fk)(p)=fk(t)edt=f(kt)edt. On fait le changement de variables :y=kt, 0 0 dy doncdt=. k  p Z ∞  −y   1 1p k L(fk)(p)=f(y)edy=L(f) k k k 0

5.2.4 Transformée deLaplace des dérivées Proposition 5.2.4 + Soitf:R7→Cune fonction etσ(f) son abscisse de convergence absolue. On suppose : n+ i)f∈ C(R,C). (k) ii) Il existeM>0 eta∈Rtels que pour tout entierk≤non af(t)≤

er M ANE

at Me Alors (k) a)σ(f)≤a;k=0,1, . . . ,n. n   X (n)n k−1 (n−k) b)Lf(p)=pL(f)(p)−p f(0) k=1

Preuve. a) Soient 0≤k≤n,p=x+iy∈Ctel queRe(p)=x>a. (k)−tp(k)−tx(k)−tx at−tx−t(x−a) |f(t)e|=|f(t)e| ≤ |f(t)|e≤Me e=Me . Z ∞ −t(x−a) En outre, edtconverge si et seulement six−a>0 c’estàdirex>a. Donc si 0 (k) Re(p)>a, l’intégrale est absolument convergente ce qui exprime queσ(f)≤a. b) La démonstration se fait par récurrence. Pourn=1. Z ∞ ′ ′ −tp−tp L(f)(p)=f(t)edt. On fait une intégration par parties avecu=e etdv= 0 ′ f(t)dt. Z ∞ ∞ ′ −tp−tp L(f)(p)=ef(t)+p f(t)edt= +pL(f)(p)−f(0). 0 0 ′′ ′ ′ ′ ′ ′ L(f)(p)=L((f) )(p)=pL(f)(p)−f(0)=p[pL(f)(p)−f(0)]−f(0)= 2′ pL(f)(p)−p f(0)−f(0). n   X (n)n k−1 (n−k) Supposons queLf(p)=pL(f)(p)−p f(0). k=1 n     X (n+1)′(n)n′k−1′(n−k) Lf(p)=L(f) (p)=pL(f)(p)−p(f) (0)= k=1 n n X X   n k−1 (n−k)n+1n′k−1 (n−k) p pL(f)(p)−f(0)−p f(0)=pL(f)(p)−p f(0)−p f(0)= k=1k=1 n+1 X n+1k−1 (n+1−k) pL(f)(p)−p f(0) k=1

5.2.5

Transformée du produit de convolution