Cours

CHAPITRE5TRANSFORMATIONDELAPLACE5.1 Définitionetconditionsd’existenceNotation.OnnoteR=R∪{±∞}.Proposition5.1.1+Soit f :R 7!Cunefonction continue.On supposequ’ilexisteZ Z∞ ∞−p t −pt0p = x + iy ∈ C tel que f(t) e dt converge. Alors f(t)e dt0 0 00 0converge simplementpourtoutptelqueRep> x0Preuve. Z Z∞ ∞−tp −tp0e ePosonsF(p)= f(t) dt.F(p )= f(t) dtestalorsconvergente.00 0 Z u+ −tp0eSoientϕ,ψdeuxfonctionsdéfiniesdeR dansCparϕ(t)= f(t) etψ(u)= ϕ(t)dt.0Alorson a:a) ϕestcontinue car f l’est′b) ψestcontinue carelleestdérivable,(ψ (u)=ϕ(u))c) limψ(u)=F(p )∈Ccequiimpliquequeψestbornée0u→∞Posons sup|ψ(u)|=Metsoientu> 0etp=x+iy∈Ctelquex> x .0+u∈RZ Z Z Zu u u u−tp −tp −tp tp tp −(p−p ) −t(p−p )0 0 0 0 0e e e e e e ef(t) dt= f(t) dt= f(t) dt= ϕ(t) dt.0 0 0 0Intégronsparparties:−t(p−p ) −t(p−p )0 0e eU= =⇒ dU=−(p−p ) .dV=ϕ(t)dt=⇒ V=ψ.0Z Zu uu−tp −t(p−p ) −t(p−p )0 0e e ef(t) dt=ψ(t) +(p−p ) ψ(t) dt=000 0Z u−u(p−p ) −t(p−p )0 0=ψ(u)e +(p−p ) ψ(t)e dt.0071Z ∞−t(p−p )0Etudionslaconvergence del’intégrale: ψ(t)e dt:0Z Z Zu u u −t(p−p ) −t(p−p ) −t(x−x )0 0 0 ψ(t)e dt ≤ ψ(t)e dt≤M e dt 0 0 0−u(x−x )0M(1−e ) M= ≤ .x−x x−x0 0Z u −t(p−p ) +0 e D’autre part, la fonction u 7! ψ(t) dt est croissante dansR . Il résulte que0Z ∞−t(p−p ) −u(x−x )0 0e eψ(t) dt est absolument convergente. Comme lim = 0 (car x > x ),0u→∞0Z Zu u−tp −u(x−x ) −u(p−p )0 0e e ef(t) dt=ψ(u) +(p−p ) ψ(t) dtadmetunelimitequandu→∞.00 0Z ∞−tpef(t) ...