Cours-4-Notions-de-géométrie
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qrq-q-r-rrq-IUT Orsay Cours du erMesures Physiques 1 semestre Notions de géométrie A. Les systèmes de coordonnées dans le plan A-I. Coordonnées cartésiennes Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i, j , tout point peut être repéré par deux ( )nombres réels appelés abscisse et ordonnée. Ecrire M (x; y) dans le repère O,i, j c’est dire que OM = x.i + y. j . ( )2 2La distance OM est alors telle que, d’après le théorème de Pythagore, OM = x + y Si deux points A et B sont tels que A(x , y ) et B(x , y ) alors : A A B B2 2AB = (x x )+ ( y y ) b A B A AB = (x x ).+i (y y ). j b A B AA-II. Coordonnées polaires Le plan étant muni d’un repère orthonormé O,i, j , tout ( )point M peut être repéré par deux nombres réels l’un étant la distance de l’origine O à M , l’autre étant une mesure de l’angle orienté du vecteur i au vecteur OM . Cet angle du vecteur i au vecteur OM est appelé angle polaire du point M . Les deux nombres qui décrivent ainsi la position du point M sont souvent notés et et sont appelés coordonnées polaires du point M A partir des coordonnées polaires et du point M , il est facile de retrouver les coordonnées cartésiennes du même point… il suffit de projeter pour obtenir : x = .cos( ). y = .sin( )B. Les systèmes de coordonnées dans l’espace B-I. Coordonnées cartésiennes L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i, j,k , tout ( )point peut être ...
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IUT Orsay Mesures Physiques
Notions de géométrie
A. Les systèmes de coordonnées dans le plan
Cours du er 1 semestre
A-I. Coordonnées cartésiennes Le plan étant muni d’un repère orthonorméO,i,j, tout point peut être repéré par deux nombres réels appelés abscisse et ordonnée. Ecrire(x;y)dans le repèreO,i,jc’est dire queOM1x.i#y.j.
La distanceOMest alors telle que, d’après le théorème de Pythagore,OM Si deux pointsAet sont tels queA(x,y)et(x,y)alors : A A B B 2 2 AB1(x%x)#(y%y) B Ab A AB1(x%x).i#(y%y).j B Ab A
2 2 x#y
A-II. Coordonnées polaires Le plan étant muni d’un repère orthonorméO,i,j, tout point peut être repéré par deux nombres réels l’un étant la distance de l’origineOl’autre étant une mesure deà , l’angle orienté du vecteurivecteur au OM. Cet angle du vecteuri au vecteurOM est appelé angle polaire du point . Les deux nombres qui décrivent ainsi la position du point sont souvent notésr etq et sont appelés coordonnées polaires du point A partir des coordonnées polairesr etq du il est facile de retrouver lespoint , coordonnées cartésiennes du même point… il suffit de projeter pour obtenir : x1r.cos(q) . y1r.sin(q)
B. Les systèmes de coordonnées dans l’espace
B-I. Coordonnées cartésiennes L’espace étant muni d’un repère orthonorméO,i,j,k, tout point peut être repéré par trois nombres réels appelés abscisse, ordonnée et cote. Attention, c’est bien cote et non pas côte, ni cotte… Ecrire(x;y;z) dans le repèreO,i,j,kdire que c’est OM1x.i#y.j#z.k. La distanceOM est alors telle que, d’après le théorème de 2 2 2 Pythagore,OM x#y#z
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Si deux pointsAsont tels que et A(x,y,z) et(x,y,z)A A A B B B 2 2 2 1 % # % # # AB(xbxA) (yByA) (zAzB) alors : AB1(x%x).i#(y%y).j#(z#z).k B A A Bb A Il est nécessaire de savoir « dessiner » les coordonnées cartésiennes d’un point de l’espace dans un repère orthonormé. B-II. Coordonnées cylindriques La physique faisant souvent apparaître des objets cylindriques (tiges, tubes, tuyaux, fils…) un système de coordonnées a été inventé pour ce type d’objet. L’espace étant muni d’un repère orthonorméO,i,j,k, tout point peut être repéré par les trois nombresr,qet définis ci-dessous oùmest le projeté orthogonal de sur le planOy: ·note on rla distance de l’origineOau pointm · on noteql’angle du vecteuriau vecteurOm·note la cote de on A partir des coordonnées cylindriquesr,q, il est facile de retrouver les et du point coordonnées cartésiennes du même point… il suffit encore de projeter pour obtenir : x1r.cos(q) r q. y1.sin( ) z1z
B-III. Coordonnées sphériques La physique fait aussi souvent apparaître des objets sphériques (boules, sphères, surfaces équipotentielles pour une charge ponctuelle isolée, planètes…) un système de coordonnées a été inventé pour ce type d’objet. L’espace étant muni d’un repère orthonormé O,i,j,kpeut être repéré par les trois, tout point nombresr,qetjdéfinis ci-dessous oùmest le projeté orthogonal de sur le planOy: ·note on rla distance de l’origineOau point · on noteql’angle du vecteurkau vecteurOM · on notejl’angle du vecteuriau vecteurOmA partir des coordonnées sphériquesr,q etjpoint , il est facile de retrouver les du coordonnées cartésiennes du même point… il suffit toujours de projeter pour obtenir : x1r.sin(q).cos(j) . y1r.sin(q).sin(j) z1r.cos(q)
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C. Le produit scalaire
C-I.
Définition et propriétés « géométriques »
Siuetvsont deux vecteurs du plan ou de l’espace, on appelle produit scalaire deuparvet on noteu.v:le réel tel que 0 siuouv est nul u v1 . u.v.cos(u,v) sinon Remarques : Cette définition est « intrinsèque » autrement dit elle ne dépend que des vecteurs et de l’unité utilisée mais pas du repère ou de quoi que ce soit d’autre. Si deux vecteurs ont des normes fixées, leur produit scalaire est… ·lorsque maximum cos(u,v)vaut 1, c’est à dire lorsqueuetvont la même direction et le même sens, · minimum lorsquecos(u,v)-1, c’est à dire lorsque vaut u etv ont la même direction et sont de sens contraires ·lorsque nul cos(u,v)vaut 0. Définition : On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Propriété « projection et mesures algébriques» Soit trois pointsA,BetC. · SiAet sont confondus, le vecteurABest nul doncAB.AC0· SiA et ne sont pas confondus, on peut projeterCsur la droite orthogonalement (AB)le projeté. Dans ces conditions on aet appeler AB.AC1AB.AH
C-II. Propriétés calculatoires Quels que soient les vecteursu,v etwplan ou de l’espace, et les réels du a etb, on a toujours : 1.1.u u 2.u.v1v.u 3.u.(v#w)1u.v#u.w 4.au.v1u.av1a(u.v)
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C-III. Expression en repère orthonormé Le plan étant muni d’un repère orthonorméO,i,j, u1xi#y j Si on a alorsu.v1xx'#yy'v1x'i#y'j L’espace étant muni d’un repère orthonorméO,i,j,k, 1 # # u xi y j zk Si on a alorsu.v1xx'#yy'#zz'v1x'i#y'j#z'k Ces propriétés sont extrêmement simples : il suffit de développer les produits en distribuant…
D. Le produit vectoriel
D-I.
Définition et propriétés « géométriques »
Siuetvsont deux vecteurs du plan ou de l’espace, on appelle produit vectoriel deuparvet on noteu vlevecteurtel que : w est orthogonal à u et àv 0 siuouv est nul Ù 1où u v(u,v,w) détermine un trièdre direct sinon w w1u.v. sin(u,v) Remarques : Cette définition est « intrinsèque » autrement dit elle ne dépend que des vecteurs et de l’unité utilisée mais pas du repère ou de quoi que ce soit d’autre. Si deux vecteurs ont des normes fixées, lanormede leur produit vectoriel est… · maximum lorsquesin(u,v)vaut 1, c’est à dire lorsqueuetvsont orthogonaux ·lorsque nulle sin(u,v)vaut 0, c’est à dire lorsqueuetvsont colinéaires
D-II. Propriétés calculatoires Quels que soient les vecteursu,vetwdu plan ou de l’espace, et le réela:, on a toujours 1.u v1 %vÙu 2.u(v#w)1uÙv#uÙw 3.au v1uÙav1a(uÙv)
D-III. Expression en repère orthonormé Remarque préparatoire : SiO,i,j,kest un repère orthonormé direct, on a : iÙj1k;jÙk1i;kÙi1j; j i1 %k;kÙj1 %i;iÙk1 %j; L’espace étant muni d’un repère orthonormé directO,i,j,k, u1xi#y j#zk uÙv1yz'%y'z)i#(zx'z'x)j(xy'x'y)k Si on a alors(% # %v1x'i#y'j#z'k
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Ici encore, il suffit de développer le produit en distribuant… On peut mémoriser facilement ce résultat en utilisant une présentation « en déterminants »… explication au tableau.
E. Applications aux calculs d’aires, de volumes, de distances
E-I. Aire d’un parallélogramme L’aire d’un parallélogramme dont deux côtés sontOA etOB est OAÙOB. C’est immédiat :Aire1Base´Hauteur1OA.OB. sin( ) Exemple : On donne, dans le repère orthonormé directO,i,j,k,A(1; 1; 2) etB5)( 2;1; , quelle est l’aire du parallélogramme(OADB)?… et celle du parallélogramme(OABC)?... et celle du triangle(OAB)?
E-II. Volume d’un parallélépipède Le volume d’un parallélépipède dont trois arêtes sont OA,OBetOCestOAÙOB.OC.
Pas difficile : Volume1AireDeBase´Hauteur1OAÙOB.OC. cos( )Exemple : On donne, dans le repère orthonormé direct O,i,j,k,A2)(1; 1; B5)( 2;1; etC(1; 0; 2), quelle est l’aire du pavé dont trois arêtes sont OA,OB,OC?
E-III.
Distance d’un point à une droite
Si est une droite passant parA et dirigée paru, et si AM u distance de à estd(M,D)1. u
Un peu moins évident : Si on appelle le projeté orthogonal de sur , on a : AM u1(AH#HM)Ùu1HMÙu d’où l’égalité des normes : AMÙu1HMÙu1HM.uet comme la distance de à estM…
est un point quelconque, la
1 Exemple : On donne, dans le repère orthonormé directO,i,j,k,A(1; 1; 2),u2et 1 M( 2;1; 5). Quelle est la distance de à la droite passant parAet dirigée paru?
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E-IV. Distance d’un point à un plan Si est le plan défini par les trois pointsA,B etC (non-alignés) et si ABÙAC.AM quelconque, la distance de à estd(M,P)1 ABÙAC
est un point
Volume Cela revient à écrire qued(M,P)1HauteurDuParallélépipède1AireDeBase Exemple : On donne, dans le repère orthonormé directO,i,j,k,A2)(1; 1; B5)( 2;1; et C(2;1; 1). Quelle est la distance deM(1;1;1)au plan(ABC)?
E-V. Equation d’un plan SiO,i,j,kest un repère orthonormé et si est le plan défini par les trois pointsA,BetC (non-alignés) pour que(x,y,z), il faut et il suffit quesoit un point de AB AC.AM10. Exemple : On donne, dans le repère orthonormé directO,i,j,k,A(1; 1; 2)B( 2;1; 5) et C2)(1; 0; . Former une équation du plan(ABC). Propriétés remarquables : ·plan a une équation de la forme Tout ax by#cz#d10où au moins l’un des réelsa,b,cn’est pas nul. a · Si un plan a pour équationax by#cz#d10, le vecteurV b est c orthogonal au plan. x y z ·un plan a pour équation Si # 11, ce plan passe par les points a b c A(a; 0; 0);B(0;b; 0);C(0; 0;c)
E-VI.
Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan
a Soit un plan passant par le pointA(x,y,z)et orthogonal au vecteurn b. A A A c On cherche les coordonnées( ,y,z)du projeté orthogonal d’un point(x,y,z)sur P. M M M A priori, le point H ayant trois coordonnées, il y a trois inconnues… disons( ,y,z). CommeHest orthogonal à il doit être colinéaire àn:H t.n permet d’exprimer les coordonnées de en fonction detet il n’y a plus qu’une inconnue. CommeAHest orthogonal ànon aAH.n0… ce qui se traduit par une équation à une seule inconnuet. On résout et on remplacetpar sa valeur dans les expressions de( ,y,z)Exercice : On donneA(1, 1, 2)B(0, 3, 1)C( 2, 0,1)projeté. Quelles sont les coordonnées du point orthogonal de l’origine sur le planABC? Quelles sont celles du point projeté orthogonal deAsur le planOC?
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E-VII.
Coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite
a Soit une droite passant par le pointA(x,y,z)et dirigée par le vecteuru b. A A A c On cherche les coordonnées( ,y,z)du projeté orthogonal d’un point(x,y,z)sur . M M M A priori, le point H ayant trois coordonnées, il y a trois inconnues… disons( ,y,z). CommeAHest colinéaire àu,AH t.uce qui permet d’exprimer les coordonnées de en fonction detet il n’y a plus qu’une inconnue. CommeHest orthogonal àuon aMH.u0… ce qui se traduit par une équation à une seule inconnuet. On résout et on remplacetpar sa valeur dans les expressions de( ,y,z)Exercice : On donneA2)(1, 1, B(0, 3, 1)C0,1)( 2, . Quelles sont les coordonnées du point projeté orthogonal deC sur la droite(AB)? Quelles sont celles du point projeté orthogonal deOsur la droite(AC)?
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