On solving nonlinear variational inequalities by p-version finite elements [Elektronische Ressource] / von Andreas Krebs

gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

172 pages

Deutsch

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

A propos
Informations
Extrait

Description

Sujets

Mathematics

Informations

Publié par	gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
Publié le	01 janvier 2004
Nombre de lectures	25
Langue	Deutsch
Poids de l'ouvrage	3 Mo

Extrait

On Solving Nonlinear Variational
Inequalities byp-Version Finite Elements
Vom Fachbereich Mathematik
der Universit¨at Hannover
zur Erlangung des Grades eines
DOKTORS DER NATURWISSENCHAFTEN
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Math. Andreas Krebs
geboren am 30. April 1965 in Buc¨ keburg
2004Referent: Prof. Dr. E.P. Stephan, Universit¨at Hannover
Korreferent: Prof. Dr. J. Gwinner, Universit¨at der Bundeswehr Mun¨ chen
Tag der Promotion: 1. Juli 20041
Zusammenfassung
hp-Finite-Elemente-Methoden(FEM)habensichbeiderLosungvonpartiellenDiﬀerenti-¨
algleichungen (PDG) bewahr¨ t. H¨auﬁg liefern sie im Vergleich zurh-FEM hohere¨ Konver-
genzraten(s.BabuˇskaundGuo,1988).ZieldieserArbeitistdieKonstruktion,Analyseund
Implementation einer hp-FEM zur numerischen Losung¨ von variationellen Ungleichun-
gen, die zu quasi-linearen elliptischen partiellen Diﬀerentialungleichungen (PDU) zweiter
Ordnung korrespondieren. Nichtlineare PDU spielen eine bedeutende Rolle in der Mo-
dellierung praktischer Probleme wie z.B. der Mechanik elastischer und elasto-plastischer
Korper (s. Hlava´ˇcek, Haslinger, Neˇcas und Lov´ıˇsek, 1988) sowie der Geometrie von Mini-¨
malﬂ¨achen ub¨ er ein Hindernis (s. Kinderlehrer and Stampacchia, 1980).
MitHilfederVariationsrechnunglassensichPDUmathematischalseinMinimierungspro-
¨blemaufderkonvexenTeilmengeK einesBanachraumesV begreifen.UblicherweiseistV
ein Sobolewraum undK durch Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen (G&UB)
deﬁniert, die die Funktionen aus V erful¨ len musse¨ n.
In der Arbeit approximieren wir die Losung¨ eines Minimierungsproblems, indem wir das
Minimum auf der diskreten Teilmenge K suchen. Hierbei stellt K die Teilmenge einesp p
konformenp-Version-Finite-Elemente-RaumesV dar, die die Kontrolle der G&UB in ge-p
2eigneten Punkten erlaubt. Die genannten Punkte sind auf dem Referenzquadrat [−1,1]
durch das Tensorprodukt der Gauß-Lobatto-Punkte gegeben. Die Bilder dieses Tensor-
produkts auf die Rechtecke des Gitters im Sinne der FEM deﬁnieren die Kontrollpunkte.
Fur die Losungen u ∈ K des diskreten Minimierungsproblems wird die Existenz, die¨ ¨ p p
Eindeutigkeit und die Konvergenz gegen die Losung¨ u der PDU fur¨ p → ∞ bzgl. der
k·k 1 -NormnachgewiesensowieeineA-priori-Abschatzung furdenFehlerku−u k 1¨ ¨ pH (Ω) H (Ω)
angegeben.
Ferner wird fur¨ Dreieckgitter im Rekurs auf gewichtete Sobolew-R¨aume eine p-Diskreti-
sierung vorgeschlagen, die eine Kontrolle der G&UB auf Dreiecken ermoglicht. Sie un-¨
terscheidet sich wesentlich von bekannten p-Diskretisierungen auf Dreiecken zur Behand-
lungpartieller DiﬀerentialgleichungenmitderFEM.NumerischeExperimentezeigenhohe
Konvergenzraten sowohl auf Rechtecken als auch auf Dreiecken.
Diep-Diskretisierungaufquasi-uniformenGitternwirdsoverallgemeinert,dassdieG&UB
auch auf Gittern mit h¨angenden Knoten und unterschiedlichen Polynomgraden auf den
Rechtecken des Gitters kontrolliert werden konnen. Fur die damit mogliche adaptive hp-¨ ¨ ¨
Verfeinerung wird ein dual gewichteter A-posteriori-Fehlersch¨atzer angegeben.
Die computergestutzte Berechnung der diskreten Minimalstelle u ∈K verlangt die¨ p p
Losung¨ einesgroßskalierten nichtlinearen Minimierungsproblems mit G&UB.Hierfur¨ wird
ein Loser angegeben, der das Minimum durch eine Kombination projizierter Gradienten-¨
schritte mit der Newtonmethode ﬁndet. Der Aufwand fur¨ die eﬃziente Losung¨ der dabei
auftretendenlinearenProblememitderkonjugiertenGradientenmethodewirdtheoretisch
und numerisch fur¨ verschiedene Prak¨ onditionierer untersucht.
Bei der numerischen Berechnung von Minimalﬂachen uber ein Hindernis erweist sich die¨ ¨
p-Version gegenub¨ er der h-Version als ub¨ erlegen.
Schlagworte: Variationelle Ungleichungen, hp-Finite Elemente Methoden, a posteriori
Fehlerschatze¨ r, gro¨sskalierte Minimierung23
Abstract
hp-ﬁnite element methods (FEM) have become a powerful tool in the treatment of second
order quasi-linear elliptic partial diﬀerential equations (PDE). Frequently, their conver-
gence rates are superior to h-FEM (Babuˇska and Guo, 1988). The objective of this
dissertation is the design, analysis, and implementation of an hp-FEM for the treatment
of variational inequalities which correspond to second order quasi-linear elliptic partial
diﬀerential inequalities (PDI). Nonlinear PDI play an important role in the modeling of
practicalproblems,forexampleinmechanicsofelasticandelasto-plasticbodies(Hlav´aˇcek,
Haslinger, Neˇcas, and Lov´ıˇsek, 1988) and in geometry of minimal surfaces (Kinderlehrer
and Stampacchia, 1980).
Using the calculus of variations, PDI can be written mathematically as a minimization
problem on a closed convex subset K of a Banach space V. Usually, V is a Sobolev space
and K is deﬁned by equality and inequality constraints (E&IC) which must be satisﬁed
by the functions from V.
In this thesis, we approximate the solution of the minimum problem by searching the
minimum on the discrete set K . Here, K is a subset of the conform p-FE space Vp p p
which allows to control the E&IC at appropriate points of the domain. Namely, the
2points are given on the reference square [−1,1] by the tensor product of Gauss-Lobatto
points. The images of these points onto the quadrilaterals of the mesh deﬁne the control
points. Existence and uniqueness of a minimumu ∈K can be proved. The convergencep p
of u towards the minimum u on K with respect to k·k 1 is shown and an a priorip H (Ω)
bound for the errorku−u k 1 is given.p H (Ω)
Further, a p-discretization is suggested which allows to control the E&IC on triangle
meshes. This discretization diﬀers mutually from known p-discretizations for the treat-
ment of PDE with FE on triangles. Numerical experiments yield high convergence rates
on the square and on the triangle.
The p-discretization on quasi-uniform meshes is extended to quadrilateral meshes with
hanging nodes and a non-uniform distribution of polygonal degrees such that the E&IC
can be controlled again. This allows adaptive h- and p-reﬁnements. A dual-weighted
residual error estimator is introduced to drive these reﬁnements.
The computation of the discrete minimumu ∈K demands to solve a large-scale nonlin-p p
ear convex minimum problem with E&IC. This problem can be solved by a combination
of the projected gradient method with Newton’s method. Preconditioners for the eﬃcient
solution of the linear systems raised by Newton’s method and their costs are discussed
theoretically and numerically.
Thep-version showed better results than theh-version when the minimal surface over an
obstacle was computed numerically.
Key words. variational inequalities, hp-ﬁnite element methods, a posteriori error esti-
mators, large-scale minimization.4Acknowledgements
It is my pleasure to express my sincere thanks to all who supported me during the time
in which this thesis was written.
I am indebted to my supervisor, Prof. Dr. E. P. Stephan (University of Hannover, Ger-
many) whom I thank at this point for his guidance over the last six years, mathematical
and otherwise. He was an attentive listener to my ideas which sometimes were only
vague in the very beginning. Moreover, Prof. Dr. Stephan was the claimant for the DFG
project Adaptive controls for the p- and hp-versions of the boundary element method with
2-level decompositions,No. Ste573/4-1,andfortheDAAD-ProjectTeaching and research
partnership with the Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica of the Universidad de Con-
cepci´on, Chile, No. 412/HSPart, which founded this work theoretically. Thanks are also
due to Dr. habil. M. Maischak for his constructive criticism concerning both, the math-
ematical foundation and the implementation. His software package maiprogs became a
big resource of my programming experience and my programs.
Furthermore, IliketothankProf.Dr. J.Hesthaven(BrownUniversity, Providence, USA)
for his encouragement and his helpful comments concerning the p-version on triangles.
I would like to thank my co-referee Prof. Dr. J. Gwinner (Universit¨at der Bundeswehr
Mu¨nchen, Germany) for his support and that he was ready to assess this thesis in a very
short period of time.
I am also indebted to Prof. Dr. L. J. Cromme (Brandenburg University of Technology
Cottbus, Germany) for his support, his interest, for the cheerful collaboration, and the
stimulating atmosphere at the Chair of Numerical and Applied Mathematics. My special
thanksgotoDr.F.Kadenformanyfruitfuldiscussions,toFrauS.Bu¨ttnerforhereﬃcient
administration of the computing facilities, and to Frau M. Hein for reminding me of theistrative things which I tended to forget when I was implementing the numerical
experiments.
Finally, my heartfelt thanks go to all who joined me in walking to the pyramids at the
landscape park in Branitz and in visiting the Cottbus Staatstheater.
Cottbus, November 2004 Andreas Krebs
56Contents
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
List of Algorithms . . . .