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Informations
Publié par | Thesee |
Nombre de lectures | 32 |
Langue | Français |
Poids de l'ouvrage | 1 Mo |
Extrait
´UNIVERSITE FRANC¸OIS-RABELAIS
DE TOURS
´ ´ECOLE DOCTORALE SANTE, SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES ET PHYSIQUE THEORIQUE
`THESE pr´esent´ee par :
Ali SROUR
soutenue le : 2 d´ecembre 2008
pour obtenir le grade de :Docteur de l’universit´e Fran¸cois-Rabelais
Discipline/ Sp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´ees
´Etude de deux approches math´ematiques compl´ementaires pour
un probl`eme de reconstruction tomographique
`THESE dirig´ee par :
M. BARLES Guy Professeur, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
RAPPORTEURS :
Mme DIBOS Fran¸coise Professeur, Universit´e Paris xiii
´M. MARECHAL Pierre Professeur, Universit´e Toulouse iii
JURY :
M. ABRAHAM Romain Professeur, Universit´e d’Orl´eans
M. BARLES Guy Professeur, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
Mme BERGOUNIOUX Ma¨ıtine Professeur, Universit´e d’Orl´eans
Mme DIBOS Fran¸coise Professeur, Universit´e Paris xiii
M. LEY Olivier MCF, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
´M. MARECHAL Pierre Professeur, Universit´e Toulouse iiii
Avant-propos
Cetteth`esea´et´eco-encadr´eeparRomainAbrahametMa¨ıtineBergouniouxauMAPMO
et Guy Barles et Olivier Ley au LMPT. Ces deux laboratoires font partie de la f´ed´eration
Denis Poisson (Orl´eans-Tours).
Je remercie la R´egion Centre qui m’a accord´e une bourse r´egionale durant ces trois
ans de recherche. Cette th`ese n’aurait pas puˆetre men´ee `a bien sans ce support financier.
Finalement, il faut signaler que ce travail est compos´e de trois grandes parties :
Les premi`ere et deuxi`eme parties ont ´et´e encadr´ees par R. Abraham et M. Bergou-
nioux au sein du MAPMO. Elles aboutissent `a deux articles, l’un `aparaˆıtre dans«Pacific
Journal of optimisation» et l’autre est en cours de pr´eparation.
La troisi`eme partie a ´et´e r´ealis´ee sous la direction de G. Barles et O. Ley au sein
du LMPT. Elle a donn´e lieu `a un article `a paraˆıtre dans « Nonlinear Analysis. Theory,
Methods & Applications».iiiii
`A mes parents...
Merci pour votre soutien ...
Merci pour votre confiance ...
Rien n’aurait ´et´e possible sans vous ...ivv
Mes Remerciements...
C’est la vie! On fait le premier pas, on rencontre des difficult´es, des probl`emes, des
obstacles... Mais par l’espoir, la patience et l’ambition, on pourra tout surmonter. On vit
des exp´eriences dures et on r´eussit `a faire face aux moments difficiles grˆace `a des per-
sonnes, qui nous guident sans h´esitations, ni r´eserves dans cette p´eriode de notre vie.
Je tiens `a commencer ces remerciements par les membres du Jury de cette th`ese no-
tamment,MmeFranc¸oiseDibosetM.PierreMar´echalpourl’honneurqu’ilsm’ontaccord´e
en acceptant d’ˆetre rapporteurs et pour l’int´erˆet qu’ils ont port´e `a mon travail.
Cette th`ese, si elle est couronn´eepar le succ`es, c’est grˆace `ades directeurs comp´etents,
attentifs et toujours pr´esents.
Ma premi`ere pens´ee va `a M. Guy Barles qui a accept´e de diriger mon travail avec
beaucoup de disponibilit´e. Ses larges connaissances en Math´ematiques m’ont donn´e l’en-
vie et l’´energie de me lancer dans la recherche. Avec lui, j’ai appris les Math´ematiques
avec rigueur et mˆeme avec plaisir. Je le remercie pour sa grande gentillesse et son soutien
constant. Je n’oublie jamais son expression : « Ali, je suis toujours l`a, mon bureau est
toujours ouvert, tu viens quand tu veux, quand tu sens que tu as besoin d’aide...» Pour
moi, c’´etait une chance de travailler avec lui.
Quant `a Olivier Ley, je suis tr`es reconnaissant d’avoir partag´e avec moi son savoir,
sa m´ethodologie de travail. Je le remercie pour son support continu, sa grande dispo-
nibilit´e, ses conseils pertinents et enfin son aide dans les corrections et l’am´eliorations
r´edactionnelles de mes travaux. Il a ´et´e d’un grand soutien dans les moments difficiles.
Un grand merci aussi `a Mme Ma¨ıtine Bergounioux. Grand merci de m’avoir propos´e
le sujet de stage en DEA qui m’a ouvert la porte de la recherche. Je suis tr`es honor´e
d’avoir partag´e son savoir et je la remercie pour l’aide et le soutien qu’elle m’a apport´e
malgr´e la distance; je la remercie pour le temps qu’elle m’a consacr´e. Soyez assur´ee Mme
Bergounioux de mon profond respect.
Je tiens `a exprimer ma gratitude `a M. Romain Abraham d’avoir partag´e avec moi ses
connaissances du mod`ele ´etudi´e.
Je veux remercier tous les membres du laboratoire de Math´ematiques et Physique
th´eorique `a l’universit´e de Tours. Un grand merci `a Anne-Marie, Bernadette et Olivier
`Thibault. A mes coll`egues du bureau : Ola, Haydar, Julien, Thierry, merci pour tous ces
agr´eables moments de travail et de loisir que nous avons partag´es.vi
A tous les moments pass´es ensemble au travail et en dehors, `a l’encouragement que
tu m’as apport´e tout au long de ma th`ese, je te remercie vivement Waad. Sois assur´ee,
Waad, de tout mon respect, de ma profonde gratitude et de toute mon amiti´e.
J’adresse un remerciement `a Rami Younes pour son aide. Sois assur´e, Rami, de mon
respect et de toute mon estime.
Mes pens´ees vont aussi `a la famille Ataya qui m’a accueilli chaleureusement `a mon
arriv´ee en France, je vous remercie vivement.
Je souhaite remercier mes amis : Jinane, Ali, Sami, Chirine, Nadia et Maryl`ene. Vous
ˆetes de vrais amis.
Merci Diana, Houssein, Hawrae, Ghennwa et toute la famille Daoud. Vous m’avez encou-
rag´e, accompagn´e et donn´e toute votre aide et vous m’avez combl´e de votre amiti´e.
Je pense `a mes chers parents : mon p`ere, ma m`ere, mes fr`eres et soeurs. Je suis vrai-
ment reconnaissant pour le soutien inconditionnel que vous m’avez apport´e, vous avez eu
foi en moi et vous m’avez permis de r´ealiser mes rˆeves.
Enfin, une douce pens´ee pour la personne vraiment ch`ere `a mon coeur, la femme la plus
tendre, qui me soutient et qui m’encourage toujours. Je te remercie vivement Ola...vii
´Etude de deux approches math´ematiques
compl´ementaires pour un probl`eme de
reconstruction tomographique
R´esum´e
Les travaux pr´esent´es dans cette th`ese sont divis´es en quatre parties. La premi`ere est
consacr´ee `a la pr´esentation du mod`ele de reconstruction tomographique. Deux approches
sont utilis´ees dans cette reconstruction : une approche variationnelle et une approche par
lignesdeniveaux(Level-Set).Dansladeuxi`emepartie,noustraitonsl’approchevariation-
nelle qui consiste en un probl`eme de minimisation non-diff´erentiable avec une contrainte
nonconvexe,d’int´erieurvidepourlestopologiesusuelles.Pourr´esoudreceprobl`eme,nous
commenc¸ons par relaxer la contrainte et obtenons un probl`eme approch´e pour lequel la
contrainte est toujours non-convexe mais exprim´ee sous forme d’in´egalit´es. Ensuite, par
unem´ethodedep´enalisation,enutilisantunem´ethodedeProgrammationMath´ematique,
un syst`eme d’optimalit´e est ´etabli pour le probl`eme p´enalis´e. Enfin, nous prouvons des
estimations a priori pour passer du probl`eme p´enalis´e au probl`eme relax´e.
L’´etude num´erique de l’approche pr´ec´edente est faite dans la troisi`eme partie. Elle est
bas´ee sur le syst`eme d’optimalit´e, la m´ethode d’Uzawa et une m´ethode de gradient `a pas
optimal pour ´ecrire un sch´ema num´erique.
Dans la quatri`eme partie, nous nous int´eressons `a l’approche par lignes de niveaux
pour r´esoudre des probl`emes de propagation de fronts. Cette m´ethode fait apparaˆıtre
des ´equations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous
prouvons l’existence et l’unicit´e d’une solution de viscosit´e pour ces ´equations dans deux
cas : celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts. Dans le cas compact,
contrairement au cas non-compact, nos r´esultats sont valables pour des Hamiltoniens qui
peuvent ˆetre non-born´es par rapport au terme non-local.
Mots-cl´es :Reconstructiontomographique, M´ethodeVariationnelle, Relaxation, Mul-
tiplicateurs de Lagrange, M´ethode de programmation math´ematique, M´ethode du La-
´grangien, M´ethode de gradient, Equations de Hamilton-Jacobi non-locales, Propagation
de fronts, M´ethode des lignes de niveaux, Solutions de viscosit´e.
´ ´LABORATOIREDEMATHEMATIQUESETPHYSIQUETHEORIQUE,(UMRCNRS6083),F´ed´eration
´de Recherche Denis Poisson (FR CNRS 2964), UNIVERSITE FRANC¸OIS RABELAIS DE TOURS,
PARC DE GRANDMONT, F-37200 TOURS FRANCE.viii
Study of two complementary mathematical
approaches of a tomographic reconstruction
problem
Abstract
The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present
our model of tomographic recon