Classification of immersions which are bounded by curves in surfaces [Elektronische Ressource] / von Dennis Frisch

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Publié par	technischen_universitat_darmstadt
Publié le	01 janvier 2010
Nombre de lectures	8
Langue	English
Poids de l'ouvrage	1 Mo

Extrait

Classiﬁcation of Immersions which are Bounded by Curves in
Surfaces
Vom Fachbereich Mathematik
der Technischen Universit¨at Darmstadt
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
genehmigte
Dissertation
von
Dipl.-Math. Dennis Frisch
aus Lich
Referent: Prof. Dr. K. Grosse-Brauckmann
Korreferent: Prof. Dr. R. Kusner
Tag der Einreichung: 04. Februar 2010
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 11. Mai 2010
Darmstadt 2010
D 17Contents
Zusammenfassung i
Introduction vii
1 Basic Concepts 1
1.1 Normal Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Basic Topological Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.3 Preimages of an Immersed Disc in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Groupings 8
2.1 The Word Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Reducing the Word . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Decomposing Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Intervals, Groupings and Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Immersed Discs in the Sphere 20
3.1 Existence of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Ungroupable Words . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Uniqueness of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Immersed Surfaces in the Sphere 31
4.1 Immersed Surfaces with m Boundary Components in the Sphere . . . . . . . 31
4.2 Immersed Surfaces with Nonzero Genus in the Sphere . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Existence of Immersed Surfaces in the Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Uniqueness of Immersed Surfaces in the Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Immersed Surfaces in Closed Surfaces 47
5.1 Immersed Surfaces with m Boundary Components in Closed Surfaces. . . . . 47
5.2 Existence of Immersed Surfaces in Closed Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Uniqueness of Immersed Surfaces in Closed Surfaces . . . . . . . . . . . . . . 56
References 61
Index 63Zusammenfassung i
Zusammenfassung
In viele verschiedenen Gebieten der Mathematik stellt sich die Frage, ob eine gegebene Rand-
wertfunktion auf das Innere fortgesetzt werden kann. In der Funktionentheorie besagt der
1 2RiemannscheAbbildungssatz,dasseineEinbettungf:S →R zueiner diﬀeomorphenFunk-
2tion F: D→R auf die abgeschlossene Kreisscheibe fortgesetzt werden kann.
In der Theorie der Minimalﬂ¨achen stellt das Plateau Problem ein Fortsetzungsproblem
dar. Hier ist dieFortsetzung einer Randkurvef gesucht, die nicht nur diﬀerenzierbar sondern
zus¨atzlich auch noch eine Minimalﬂ¨ache ist.
In der Kategorie der topologischen Mannigfaltigkeien hat Arthur Schoenﬂiess gezeigt, dass
1 2eine Einbettungf: S →S die Sph¨are in genau zwei Zusammenhangskomponenten zerteilt.
Jede dieser Komponenten ist hom¨oomorph zuD und somit la¨sst sichf zu einem Hom¨oomor-
2phismusF: D→S fortsetzen (Jordan-Schoenﬂiess Theorem).
Die vorliegende Arbeit untersucht ein Fortsetzungsproblem in der Kategorie der Immersio-`m 1nen. Angenommen f: S →N ist eine Immersion von der disjunkten Vereinigung vonj=1 `m 1KreisenineinegeschlosseneFl¨acheN. WannexistierteineFl¨acheM mitRand∂M = Sj=1
so, dass f zu einer Immersion F: M →N fortgesetzt werden kann? Weiterhin stellt sich die
Frage wieviele verschiedene Fortsetzungen existieren.
1 2Ist f: S → S eine Einbettung, so liefert der Riemannsche Abbildungssatz eine Fortset-
2 1 2zung zu einer Einbettung F: D → S . Sei nun f: S → S eine Immersion, aber keine
Einbettung. Wenn f in geschlossene Einbettungen zerlegt werden kann, so kann jede dieser
Einbettungen auf D fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen k¨onnen zu einer Fortsetzung
von f zusammengeklebt werden.
Es stellt sich die Frage, wie diese Schnitte lokalisiert werden k¨onnen? Betrachten wir das
folgende Beispiel:
Hat diese Immersion eine Fortsetzung auf die abgeschlossene Einheitskreisscheibe? Hat sie
1eine Fortsetzung zu einer anderen Fl¨ache M mit ∂M = S ? Wieviele verschiedene Fortset-
zungen existieren?ii Zusammenfassung
All diese Fragen k¨onnen mit Hilfe eines f zugeordneten Wortes w(f) beantwortet werden.
Um dieses Wort zu bekommen w¨ahlen wir einen Basispunktx undPunktep ,...,p in jeder0 1 k
2 1Zusammenhangskomponenten von S \f(S ). Danach ziehen wir einen Strahl cˆ von p nachj j
1 ±1x . Diese Strahlen schneidenf(S ) und wir markieren die Schnittpunkte voncˆ mita . Der0 j j
1Schnittpunkt ist positiv, wenn der Strahl f(S ) von links nach rechts schneidet und er ist
negativ wenn er von rechts nach links schneidet.
−1 cˆ4acˆ 33
p3 p4 p5s
−1a5
p cˆ2 5
a2
a5
cˆ2
−1 ap 2a1 x1 0
cˆ1 a1 a4
a3 cˆ4
cˆ3
±1Die Strahlen cˆ und die orientierten Schnittpunktea .j j
±1Durch die Wahl eines Startpunktes s k¨onnen die Buchstaben a als Wort aufgeschriebenj
werden, d.h.
−1 −1 −1w(f) =a a a a a a a a a .2 5 4 3 1 21 5 3
Dieses Wort enth¨alt alle Informationen um die oben gestellten Fragen zu beantworten. Die
2Existenz von Fortsetzungen F: D → S steht im Zusammenhang mit der Kombinatorik
der Buchstaben von w(f). Spezielle Teilw¨orter kennzeichnen die Stellen, an denen f so
zerschnitten werden kann, dass eine Einbettungabgespalten wird. Diese speziellen Teilw¨orter
±1 ∓1heißen Paarungen und negative Gruppen. Eine Paarung ist ein Teilwort der Forma ...aj j
−1 −1und eine negative Gruppe ein Teilwort der Form a a . Das Beispiel enth¨alt eine Paarung
j i
und eine negative Gruppe:
−1 −1 −1w(f) =a a a a a a a a a .2 5 4 3 1 21 5 3
Die nachfolgende Abbildung zeigt, dass diese Teilw¨orter Einbettungen markieren, welche zu
eingebetteten Kreisscheiben fortgesetzt werden k¨onnen:Zusammenfassung iii
−1a3
−1a5
−1a a1 1
(a) Die durch eine Paarung gekennzeichnete (b) Die durch eine negative Gruppe
Einbettung. Die Kreissscheibe ist durch die gekennzeichnete Einbettung. Die Kreiss-
Schraﬃerung markiert. cheibe ist durch die Schraﬃerung markiert.
Bleibt nach dem Ku¨rzen aller Paarungen und negativen Gruppen ein positives Wort, d.h.
¨ein Wort mit positiven Buchstaben, u¨brig, dann hat das Wort eine Gruppierung. Das Ubrig-
bleiben eines positiven Wortes bedeutet, dass der verbleibende Teil von f ebenfalls eine Ein-
bettung ist und somit fortgesetzt werden kann. Nachdem alle Einbettungen fortgesetzt wur-
den werden die Kreisscheiben zu einer Fortsetzung von f zusammengeklebt.
DerAnsatzeinerImmersioneinWortzuzuordnenundeinFortsetzungsproblem anhanddieses
Wortes zu untersuchen l¨asst sich auf C. J. Titus [Tit60] zuru¨ckfu¨hren. Im Gegensatz zu un-
serem Ansatz nutzte er ausschliesslich die Selbstschnitte der Immersion um die sogenannte
Titus Schnittfolge zu deﬁnieren. Damit war er in der Lage die Frage nach der Existenz einer
1 2Fortsetzung zu einer gegebenen Immersionf: S →R zu beantworten, aber er konnte nicht
sagen, wieviele verschiedene Fortsetzungen es gibt.
Eine Antwort auf diese Frage im Falle immersierte Kreisscheiben in der Ebene gab Samuel
J. Blank in seiner Dissertation von 1967 [Bla67]. Er verbesserte Titus’ Ansatz dadurch, dass
1er die Strahlen cˆ erg¨anzte und deren Schnittpunkte mit f(S ) untersuchte. Er behauptetej
¨das die Anzahl der Gruppierungen von w(f) mit der Anzahl der verschiedenen Aquivalen-
zklassen von Fortsetzungen u¨bereinstimmt (vgl. Abbildung 1 fu¨r eine weitere Fortsetzung
des Beispiels.). Allerdings hat seine Dissertation einen unvollst¨andigen Charakter und blieb
unver¨oﬀentlicht.
EswarValentinPo´enaru derdiefehlendenBeweiseerg¨anzteundBlanksIdeenver¨oﬀentlichte
[Po´e69]. Die vorliegende Arbeitstellt neuekombinatorische Strukturenvor, diedasVerst¨and-
nis der Resultate wesentlich verbessern. Dies fu¨hrt zu einer Vereinfachung und verku¨rzt die
Beweise stark. `m 1 2Die Frage ob eine Immersion f: S → S eine Fortsetzung zu einer Immersionj=1
2F: M →S hat blieb aber weiterhin oﬀen. M. L. Marx entwickelte notwendige Bedingungen`
1 1 2sowohl dafu¨r, dass eine Immersion f: S S → R mit zwei Randkomponenten auf den
1 2Kreisring fortgesetzt werden kann [Mar65], als auch dafu¨r, dass eine Immersion f: S →R
1aufeineFl¨acheM mitRand∂M =S undGeschlechtg ∈{0,1} [Mar68]fortgesetzt werdenM
kann.
2 1 2K. D. Bailey verbessertedieseResultateindemerFortsetzungenF: M →R vonf: S →Riv Zusammenfassung
−1a3
−1a5
a5
−1a1
(c) Die durch eine Paarung gekennzeichnete (d) Die durch eine negative Gruppe
Einbettung. Die Kreissscheibe ist durch die gekennzeichnete Einbettung. Die Kreiss-
Schraﬃerung markiert. cheibe ist durch die Schraﬃerung markiert.
−1 −1 −1Abbildung 1: Eine weiter Gruppierung von w(f) = a a a a a a a a a und die2 5 4 3 1 21 5 3
zugeh¨orige Fortsetzung.
untersuchte, beidenenM eine Fl¨ache mit beliebigem Geschlecht ist. Er zeigte, dass eine neue
Operation auf dem Wort w(f), die er Versammlung nannte, zu einer vollst¨andigen Charak-
1terisierung immersierter Fl¨achen M mit Rand∂M =S in der Ebene fu¨hrte [Bai75].
1986 kompletierten C. Curley und D. Wolitzer die Klassiﬁk