Sujet : Analyse, Etude d'une suite de racines d'équations algébriques

analyse-mpsi - David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

1 page

Français

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

A propos
Informations
Extrait

Description

Suites numériques. Suites récurrentes.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Informations

Publié par	analyse-mpsi
Nombre de lectures	76
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b
3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

4.d

4.e

Etude d’une suite de racines d’équations algébriques

2+, montrer que l’équation

Pour∈ℕ∗, on considère l’équation+−1+⋯+2+=1 ..
En étudiant la fonctionϕ:ℝ+→ℝdéfinie parϕ()=+−1+⋯+
possède une unique solution positive.
Justifier que∈0,1 et qu’on a la relation(1−)=1−.
Etablir que la suite ( décroissante puis convergente.) est
Etablir que→0 et en déduire la limite de () .
On écrit=12(1+ε)avecε→0 .
En observant que (1+ε)+1=2+1ε,
établir la relation (+1)εln(1+ε)=(+1)εln 2+εlnε.
Déterminer alors la limite de (+1)εpuis celle de (1+ε)+1.
En déduire un équivalent simple de (ε) .
Dans cette question, on suppose=2 .
Par commodité on noteα=2au lieu de∀∈ℕ,∈1 2,1 .
On considère la fonction réelledéfinie pour≥0 par()=1+.
1
Simplifier(α) .
Montrer que si∈1 2,1 alors()∈1 2,1 .
On considère la suite récurrente réelle ( par :) définie
0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Justifier∀∈ℕ,+1−α≤23−α.
En déduire :−α≤23,
et déterminer la limite de la suite () .
Dans cette question, on suppose: 1 2,1→ et1 2,1=1 .
Par commodité, on poseβ=3.
On introduit la fonction réelledéfinie par()=2+1+1et o nsidn cos al erècér etiue ntreur leelré
 
( par :) définie0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Dresser le tableau de variation desurℝ+.
En déduire que∀∈ℕ,∈0,1 .
Justifier que (2 ( décroissante, que) est2+1) est croissante puis que ces deux suites sont convergentes.
On poseℓ=lim2et0∈1 2,1 .
Etablir(ℓ)=ℓ′et(ℓ′)=ℓ.
En déduire queℓest solution de l’équation : (ℓ2+1)(ℓ3+ℓ2+ℓ−1)=0 .
Conclure queℓ=β,ℓ=′βpuis déterminer la nature () .