Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Compacité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Compacité Exercice 9 [ 03274 ] [correction] Soit A une partie bornée non vide d’unR-espace vectoriel de dimension ﬁnie E. a) Montrer qu’il existe une boule fermée de rayon minimal contenant A.Exercice 1 [ 01159 ] [correction] t b) On suppose l’espace E euclidien, montrer l’unicité de la boule précédente.Montrer queO (R) ={A∈M (R), AA =I } est une partie compacte den n n M (R).n Exercice 10 [ 01171 ] [correction] Exercice 2 [ 01160 ] [correction] Soient E et F deux espaces normés et f :E→F une application. −1Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-même compacte. On suppose que F est compact, f ({y}) est compact pour tout y∈F et que l’image de tout fermé de E est un fermé de F. Montrer que E est compact. Exercice 3 [ 01161 ] [correction] Soient K une partie compacte non vide d’un espace vectoriel normé E et x∈E. Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02772 ] [correction] Montrer qu’il existe y∈K tel que Soient f une fonction deR dansR et G ={(x,f(x))/x∈R} le graphe de f.f a) Montrer, si f est continue, que G est fermé.d(x,K) =d(x,y) f 2b) Si f est bornée et si G est fermé dansR , montrer que f est continue.f c) Le résultat du b) subsiste-t-il si f n’est pas bornée? Exercice 4 [ 01164 ] [correction] Soient K et L deux compacts d’un espace vectoriel normé E. Etablir que K +L ={x +y/x∈K,y∈L} est un compact de E.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Spécialité

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Publié par	analyse-mpsi
Nombre de lectures	77
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Compacité

Exercice 1[ 01159 ][correction]
Montrer queOn(R) ={A∈ Mn(R)tAA=In}est une partie compacte de
Mn(R).

Enoncés

Exercice 2[ 01160 ][correction]
Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-mme compacte.

Exercice 3[ 01161 ][correction]
SoientKune partie compacte non vide d’un espace vectoriel norméEetx∈E.
Montrer qu’il existey∈Ktel que

d(x K) =d(x y)

Exercice 4[ 01164 ][correction]
SoientKetLdeux compacts d’un espace vectoriel norméE.
Etablir queK+L={x+yx∈K y∈L}est un compact deE.

Exercice 5[ 01165 ][correction]
SoientFun fermé etKun compact d’un espace vectoriel norméE.
Etablir que la partieF+K={x+yx∈F y∈K}est fermée.

Exercice 6[ 01166 ][correction]
SoitKun compact d’un espace vectoriel norméEtel que0∈ K.
On formeF={λxλ∈R+ x∈K}. Montrer queFest fermé.

Exercice 7[ 01167 ][correction]
SoientKetLdeux compacts disjoints d’unK-espace vectoriel de dimension ﬁnie.
Montrer qued(K L)>0.

Exercice 8[ 01168 ][correction]
SoitFune partie fermée non vide d’un espace vectoriel normé de dimension ﬁnie
E.
a) Montrer que, pour toutx∈E, la distance dexàFest atteinte en un certain
élémenty0∈F.
b) Y a-t-il unicité de cet élémenty0?

Exercice 9[ 03274 ][correction]
SoitAune partie bornée non vide d’unR-espace vectoriel de dimension ﬁnieE.
a) Montrer qu’il existe une boule fermée de rayon minimal contenantA.
b) On suppose l’espaceEeuclidien, montrer l’unicité de la boule précédente.

Exercice 10[ 01171 ][correction]
SoientEetFdeux espaces normés etf:E→Fune application.
On suppose queFest compact,f−1({y})est compact pour touty∈Fet que
l’image de tout fermé deEest un fermé deF. Montrer queEest compact.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02772 ][correction]
Soientfune fonction deRdansRetGf={(x f(x))x∈R}le graphe def.
a) Montrer, sifest continue, queGfest fermé.
b) Sifest bornée et siGfest fermé dansR2, montrer quefest continue.
c) Le résultat du b) subsiste-t-il sifn’est pas bornée ?

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02777 ][correction]
SoientAun compact d’intérieur non vide deRnetLA={u∈ L(Rn) u(A)⊂A}.
Montrer queLAest un compact deL(Rn).

Exercice 13[ 03271 ][correction]
[Théorème de Riesz]
SoitFun sous-espace vectoriel de dimension ﬁnie d’unK-espace vectorielE.
a) Montrer que pour touta∈E, il existex∈Fvériﬁant

d(a F) =ka−xk

b) On supposeF6=E. Montrer qu’il existea∈Evériﬁant
d(a F) = 1etkak= 1

c) On suppose leK-espace vectoriel de dimension inﬁnie. Montrer qu’il existe une
suite(an)d’éléments deEvériﬁant

∀n∈Nkank= 1etd(an+1Vect(a0     an)) = 1

Conclure que la boule unité deEn’est pas compacte.

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Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02778 ][correction]
Soient(Ekk)un espace vectoriel normé etFun sous-espace vectoriel de
dimension ﬁnie deE.
a) Montrer
∀x∈E∃y∈F d(x F) =kx−yk

Enoncés

b) Montrer, siF6=E, qu’il existeu∈Etel qued(u F) =kuk= 1.
c) Montrer queEest de dimension ﬁnie si, et seulement si,B={x∈Ekxk61}
est une partie compacte.

Exercice 15[ 03305 ][correction]
a) SoitFune partie fermée d’unK-espace vectorielEde dimension ﬁnie.
L’ensembleF0=SB(x1) ?est-il fermé
x∈F
b) Qu’en est-il si on ne suppose plus l’espaceE ?de dimension ﬁnie

Exercice 16[ 03472 ][correction]
SoientKune partie compacte d’un espace de dimension ﬁnie etr >0.
Montrer que la partie
Kr=[B(x r)
¯
x∈K
est compacte.

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02776 ][correction]
SoientE1etE2deux espaces vectoriels normés réels,fune application deE1
dansE2telle que pour tout compactKdeE2,f−1(K)soit un compact deE1.
Montrer, siFest un fermé deE1, quef(F)est un fermé deE2.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On(R)est borné par 1 pour la norme

kAk= max|aij|
16ij6n

On(R)est fermé car siAp∈ On(R)→AalorstApAp=Indonne à la limite
tAA=In

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
SoitFune partie fermée d’un compactK. Si(xn)est une suite d’éléments deF,
alors c’est aussi une suite d’éléments deKet on peut donc en extraire une suite
(xϕ(n))convergeant dansK. Cette suite extraite est aussi une suite convergente
d’éléments du ferméF, sa limite appartient donc àF. Au ﬁnal, il existe une suite
extraire de(xn)convergeant dansF.

Exercice 3 :[énoncé]

Par déﬁnition
d(x K) =yi∈nfKd(x y)
Pour toutn∈N?, il existeyn∈Ktel que

d(x K)6d(x yn)6d(x K 1) +n

La suite(yn)d’éléments du compactKadmet une valeur d’adhérencey∈K. Il
existe alors une extractriceϕtelle queyϕ(n)→y. Mais alorsd(x yϕ(n))→d(x y)
et
d(x K)6d(x yϕ(n))6d(x K) +ϕ1(n)
donne à la limited(x y) =d(x K).
On aurait pu aussi introduire la fonctiony7→ ky−xkqui est continue sur un
compact non vide et admet donc un minimum.

Exercice 4 :[énoncé]
Soit(un)une suite d’éléments deK+L. Pour toutn∈N, on peut écrire
un=an+bnavecan∈Ketbn∈L. On peut extraire de la suite(an)d’éléments
du compactK, une suite(aϕ(n))convergeant vers un élément deK. On peut aussi

extraire de la suite(bϕ(n))d’éléments du compactL, une suite(bϕ(ψ(n)))
convergeant vers un élément deL. Pour l’extractriceθ=ϕ◦ψ,(aθ(n))et(bθ(n))
convergent vers des éléments deKetLdonc(uθ(n))converge vers un élément de
K+L.
Autre démonstrationK+Lest l’image du compactK×LdeE2par l’application
continue(x y)7→x+y.

Exercice 5 :[énoncé]
Soit(un)une suite convergente d’éléments deF+Kde limiteu. Pour toutn∈N,
on peut écrireun=an+bnavecan∈Fetbn∈K. La suite(bn)étant une suite
d’élément du compactK, on peut en extraire une suite convergente(bϕ(n))de
limiteb∈K. La suite(aϕ(n))est alors convergente de limitea=u−bcar
aϕ(n)=uϕ(n)−bϕ(n). Or(aϕ(n))est une suite d’éléments du ferméFdonca∈F
et puisqueu=a+b,u∈F+K. FinalementF+Kest fermée.

Exercice 6 :[énoncé]
un∈F→u,un=λnxn.0∈Kdonc∀α >0 B(0 α)⊂CEK.
kunk → kuketα6kxnk6Mdonc(λn)est bornée.
Par double extraction(xϕ(n))et(λϕ(n))convergent versx∈Retλ∈R+. On a
alorsu=λx.

Exercice 7 :[énoncé]
Soient(xn)∈KNet(yn)∈LNtelle que
d(K L) =(xy)infK×Ld(x y) = lnim∞d(xn yn).
∈
On peut extraire de(xn)une suite convergente(xϕ(n))et on peut extraire de
(yϕ(n))une suite convergente(yϕ(ψ(n))). Pourx= limxϕ(n)∈Ket
y= limyϕ(ψ(n))∈Lon ad(K L) =d(x y)>0carK∩L=∅.

Exercice 8 :[énoncé]
a) Posonsd=d(x F).

∀n∈N?∃xn∈F,kx−xnk6d+n1

Cela permet de déﬁnir une(xn)bornée, elle admet donc une sous-suite
convergente(xϕ(n))dont on notex¯la limite. On ax¯∈FcarFest une partie
fermée et puisquekx−xnk →don obtientkx−¯xk=d
.
b) Non, prendrex= 0etFl’hypersphère unité.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a) Soita∈E. Puisque la partieAest bornée et non vide, l’ensemble
{kx−akx∈A}est une partie non vide et majo