Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Extremum sur compact

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Extremum sur compact Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02911 ] [correction] Calculer l’aire maximale d’un triangle inscrit dans un cercle de rayon r. Exercice 1 [ 00063 ] [correction] Soit f : (x,y)7→xy(1−x−y) définie sur Exercice 7 [ 03349 ] [correction] 2 Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on poseT = (x,y)∈R /x,y> 0,x+y6 1 f(M) =MA+MB +MCa) Justifier que f est continue et présente un maximum à l’intérieur de T. b) Déterminer sa valeur. a) Etudier la différentiabilité de f. b) En considérant le disque fermé de centre A et de rayonAB+AC, établir que f possède un minimum absolu dans le plan. Exercice 2 [ 00064 ] [correction] c) Soit T un point où ce minimum est atteint. On suppose que T n’est pas un 2SoitD l’ensemble des couples (x,y)∈R tels que x> 0,y> 0 et x+y6 1. sommet du triangle. 2a) Montrer queD est une partie compacte deR . Etablir −→ −→ −→b) Soient a> 0,b> 0,c> 0 et f :D→R définie par : TA TB TC ~+ + = 0 TA TB TCa b cf(x,y) =x y (1−x−y) d) Montrer qu’alors le point T voit les sommets du triangle sous un même angle. Montrer que f est continue surD. c) Déterminer Exercice 8 Centrale MP [ 02465 ] [correction]sup f(x,y) (x,y)∈D Soit un triangle ABC et M parcourant l’intérieur de ce triangle. On veut déterminer en quelle position le produit des 3 distances de M à chacun des côtés du triangle est maximal.