Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité et polynômes annulateurs Exercice 6 [ 00851 ] [correction] 2Soient E unK-espace vectoriel de dimension n∈N et p∈L(E) tel que p soit un projecteur.Exercice 1 [ 00846 ] [correction] a) Quelles sont les valeurs propres possibles pour p?Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable. 3b) Montrer que p est diagonalisable si, et seulement si, p =p. Exercice 2 [ 00847 ] [correction] Exercice 7 [ 00852 ] [correction] Soit SoientE un espace vectoriel de dimension 3 etf un endomorphisme deE vérifiant O In n A = ∈M (K)2n 4 2−I On n f =f 2Calculer A . On suppose que 1 et−1 sont valeurs propres de f. Montrer que f est Selon queK =R ouC dire si la matrice A est, ou non, diagonalisable. diagonalisable. Exercice 3 [ 00848 ] [correction] Exercice 8 [ 02608 ] [correction] ?Soit n∈N et A∈M (C) définie par blocs : Soit A∈M (R) vérifiant2n n 3A +I =O n n O −In A = Montrer que la trace de A est un entier.I On 2a) Calculer A . Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02714 ] [correction]b) La matriceA est-elle diagonalisable? Déterminer les valeurs propres de A et les Soit A∈M (R) telle quendimensions de ses espaces propres? 3 2 A +A +A = 0 Montrer que rgA est pair. Exercice 4 [ 00849 ] [correction] Soient E unR-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E Exercice 10 [ 03469 ] [correction]vérifiant 3 Soit M∈M (R) vérifiantnf = 4f 2 tM + M = 2In Montrer que la trace de f est un entier pair.