Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité et polynômes annulateurs Exercice 6 [ 00851 ] [correction] 2Soient E unK-espace vectoriel de dimension n∈N et p∈L(E) tel que p soit un projecteur.Exercice 1 [ 00846 ] [correction] a) Quelles sont les valeurs propres possibles pour p?Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable. 3b) Montrer que p est diagonalisable si, et seulement si, p =p. Exercice 2 [ 00847 ] [correction] Exercice 7 [ 00852 ] [correction] Soit SoientE un espace vectoriel de dimension 3 etf un endomorphisme deE vériﬁant O In n A = ∈M (K)2n 4 2−I On n f =f 2Calculer A . On suppose que 1 et−1 sont valeurs propres de f. Montrer que f est Selon queK =R ouC dire si la matrice A est, ou non, diagonalisable. diagonalisable. Exercice 3 [ 00848 ] [correction] Exercice 8 [ 02608 ] [correction] ?Soit n∈N et A∈M (C) déﬁnie par blocs : Soit A∈M (R) vériﬁant2n n 3A +I =O n n O −In A = Montrer que la trace de A est un entier.I On 2a) Calculer A . Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02714 ] [correction]b) La matriceA est-elle diagonalisable? Déterminer les valeurs propres de A et les Soit A∈M (R) telle quendimensions de ses espaces propres? 3 2 A +A +A = 0 Montrer que rgA est pair. Exercice 4 [ 00849 ] [correction] Soient E unR-espace vectoriel de dimension ﬁnie et f un endomorphisme de E Exercice 10 [ 03469 ] [correction]vériﬁant 3 Soit M∈M (R) vériﬁantnf = 4f 2 tM + M = 2In Montrer que la trace de f est un entier pair.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Spécialité

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Publié par	algebre-mpsi
Nombre de lectures	143
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Exercice 1[ 00846 ][correction]
Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.

Exercice 2[ 00847 ][correction]
Soit
A=−IOnnOInn∈ M2n(K)

2
CalculerA.
Selon queK=RouCdire si la matriceAest, ou non, diagonalisable.

Exercice 3[ 00848 ][correction]
Soitn∈N?etA∈ M2n(C)déﬁnie par blocs :
A=On−IOn
I

Enoncés

a) CalculerA2.
b) La matriceA Déterminer les valeurs propres de ?est-elle diagonalisableAet les
dimensions de ses espaces propres ?

Exercice 4[ 00849 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension ﬁnie etfun endomorphisme deE
vériﬁant
f3= 4f

Montrer que la trace defest un entier pair.

Exercice 5[ 00850 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle que

Montrer quedet(A) = 1.

A3−A2+A−I=O

Exercice 6[ 00851 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn∈Netp∈ L(E)tel quep2soit un
projecteur.
a) Quelles sont les valeurs propres possibles pourp?
b) Montrer quepest diagonalisable si, et seulement si,p3=p.

Exercice 7[ 00852 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension 3 etfun endomorphisme deEvériﬁant

f4=f2

On suppose que1et−1sont valeurs propres def. Montrer quefest
diagonalisable.

Exercice 8[ 02608 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)vériﬁant
A3+In=On
Montrer que la trace deAest un entier.

Exercice 9Mines-Ponts MP
SoitA∈ Mn(R)telle que

Montrer que rgAest pair.

[ 02714 ][correction]
A3+A2+A= 0

Exercice 10[ 03469 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)vériﬁant
M2+tM= 2In
Montrer que cette matriceMest diagonalisable.

Exercice 11Centrale PSI[ 03645 ][correction]
SoitM∈ Mn(C)telle que
M2+tM=In

a) Montrer

Minversible si, et seulement si,1∈SpM

b) Montrer que la matriceMest diagonalisable.

Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 12[ 03792 ][correction]
Soientnun entier supérieur ou égal à 2 etMune matrice carrée de taillentelle
queM2+tM=In
Quelles sont les valeurs propres deM ?? Est-elle symétrique Est-elle
diagonalisable ?

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02716 ][correction]
Résoudre dansMn(R)le système
(M2+M+In= 0
tM M=MtM

Exercice 14[ 03030 ][correction]
SoientP∈ Mn(R)une matrice de projection etϕl’endomorphisme deMn(R)
déﬁni par
ϕ(M) =P M+M P

Montrer que l’endomorphismeϕest diagonalisable

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02720 ][correction]
Soitn∈N?u∈ L(R2n+1). On supposeu3=u, tru= 0et tru2= 2n. On note
,
C(u) =v∈ L(R2n+1)uv=vu

a) Calculer la dimensionC(u).
b) Quels sont lesntels queC(u) =R[u]?

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02721 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). On posefA(M) =AM, pour toute matriceM∈ Mn(R).
a) Montrer que siA2=AalorsfAest diagonalisable.
b) Montrer quefAest diagonalisable si, et seulement si,Aest diagonalisable.

Exercice 17Centrale MP[ 00853 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On posef(M) =AMpour touteM∈ Mn(C).
a) L’applicationfest-elle un endomorphisme deMn(C)?
b) Etudier l’équivalence entre les inversibilités deAet def.
c) Etudier l’équivalence entre les diagonalisabilités deAet def.

Exercice 18CCP MP[ 03192 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)telle quedetA= 1et qu’il existep∈N?pour lequel
Ap=In

a) Montrer queAest diagonalisable dansC.
On noteαetβles deux valeurs propres deA.
¯
b) Montrer que|α|=|β|= 1, queα=βet

|Re(α)| ∈ {0121}

c) Montrer queA12=I2
d) Montrer que l’ensembleG={Ann∈N}est un groupe monogène ﬁni pour le
produit matriciel.

Exercice 19X MP[ 00838 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)vériﬁant :
∃n∈N? An=I2
Montrer queA12=I2.

Exercice 20X MP[ 02652 ][correction]
On ﬁxen∈N?et on note

En={A∈ Mn(Z)∃m∈N? Am=In}

PourA∈En, on pose

ω(A) = min{m∈N?Am=In}

Montrer queω(En)est ﬁni.

Exercice 21[ 03138 ][correction]
Soit
M

avecA∈ Mn(R).
a) Montrer que

=A0AA

∀P∈R[X],P(M) =P0(A)

APP(0(AA))

b) Enoncer une condition nécessaire et suﬃsante pour queMsoit diagonalisable.

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Exercice 22[ 03281 ][correction]
Soit
M=A0

B
A

avecA B∈ Mn(R)vériﬁantAB=BA
a) Montrer que
∀P∈R[X],P(M) =P(0A)PP0((AA))B



b) Enoncer une condition nécessaire et suﬃsante surAetBpour queMsoit
diagonalisable.

Exercice 23[ 02953 ][correction]
Déterminer les couples(A B)∈ Mn(R)2tels que
B
OAA

est diagonalisable.

Exercice 24[ 03027 ][correction]
Trouver les matricesM∈ Mn(C)vériﬁantM5=M2et tr(M) =n.

Enoncés

Exercice 25[ 03646 ][correction]
Soientf u vtrois endomorphismes d’unR-espace vectorielEde dimension ﬁnie .
On suppose qu’il existeα β∈Rdistincts tels que
Id=u+v
f=αu+βv
f2=α2u+β2v

a) Montrer quefest diagonalisable.
b) Justiﬁer queuetvsont des projections vectorielles dont on précisera noyau et
image en fonction des espaceker(f−αId)etker(f−βId).
c) Exprimerfnpour toutn∈Nen fonction deα βetu v.

Exercice 26[ 03028 ][correction]
Soientα β∈Ketu v ftrois endomorphismes d’unK-espace vectorielEde
dimension ﬁnie vériﬁant
f=αu+βv
ff32==αα32uu++ββ32vv
Montrer quefest diagonalisable.

Exercice 27Mines-Ponts PC[ 00708 ][correction]
Soit(A B C)∈ Mn(R)3tel que
C=A+B,C2= 2A+ 3BetC3= 5A+ 6B

Les matricesAetBsont-elles diagonalisables.

Exercice 28Mines-Ponts MP[ 03291 ][correction]
aI) Montrer que, pourz1     zn∈Cavecz16= 0, on a l’égalité

n n
Xzk=X|zk|
k=1k=1

si, et seulement si, il existen−1réels positifsα2     αntels que

∀k>2 zk=αkz1

b) Déterminer toutes les matrices deMn(C)telles queMn=Inet trM=n

Exercice 29[ 03425 ][correction]
Soient
10−00000010
M 0 1 0 0= 0∈ M5(R)
0000010100
etm∈ L(R5)canoniquement associé àM.
a) En procédant à un calcul par bloc, déterminerp∈N?tel queMp=I5.
En déduire queMest diagonalisable dansM5(C).
b) Déterminer un vecteurx∈R5tel quex m(x) m2(x) m3(x)etm4(x)forme
5
une base deR.
Quelle est la matrice dem ?dans cette base

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Enoncés

Exercice 30[ 03798 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension ﬁnie etF Gdeux sous-espaces
vectoriels supplémentaires non triviaux. On notepla projection surF
parallèlement àGetsla symétrie par rapport àFet parallèlement àG. Enﬁn on
pose pourfendomorphisme deF

φ(f) =p◦f◦s

ce qui déﬁnit un endomorphismeφsurL(E).
a) Montrer queφ simple ». L’endomorphismeannule un polynôme «φest-il
diagonalisable ?
b) Déterminer les éléments propres deφ.
(indice : on pourra considérer les matrices depetsdans une base adaptée à la
décompositionE=F⊕G)

Exercice 31Centrale PC[ 03744 ][correction]
Soientn∈N?etE=Mn(R). PourA B∈Eﬁxées non nulles, on déﬁnit
f∈ L(E)par
∀M∈E f(M) =M+tr(AM)B

a) Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 defet en déduire une
condition nécessaire et suﬃsante sur(A B)pour quefsoit diagonalisable. Quels
sont alors les éléments propres def?
b) DéterminerdimCoù

C={g∈ L(E)f◦g=g◦f}

Enoncé fourni par le concours CENT