Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Déterminants

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Déterminants Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02650 ] [correction] On note V l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type  Exercice 1 [ 00738 ] [correction] a b c d Soit A∈M (K) de colonnes C ,...,C .n 1 n  d a b c Calculer le déterminant de la matrice B de colonnes  c d a b b c d a C −C ,...,C −C ,C −C1 2 n−1 n n 1 et G l’ensemble des M∈V inversibles dansM (R) et dont l’inverse est dans V.4 a) Quelle est la structure de G? Exercice 2 [ 02355 ] [correction] b) Soit M∈V. Montrer que M∈G si, et seulement si, detM =±1. Soient A,B∈M (R) telles que AB =BA.n c) Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit. 2 2Montrer que det(A +B )> 0. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02659 ] [correction] Soient des matrices A,B∈M (Z) telles que detA et detB sont premiers entreExercice 3 [ 00752 ] [correction] n eux.Soient A∈M (C) et ϕ ∈L(M (C)) déterminé parn A n Montrer l’existence de U,V ∈M (Z) telles quen ϕ (M) =AMA UA +VB =In Calculer la trace et le déterminant de ϕA Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02695 ] [correction] Soit A∈M (C) vérifiant pour tout X∈M (C),Exercice 4 [ 02603 ] [correction] n n On dit qu’une matrice A∈M (R) est élément de GL (Z) si la matrice A est àn n det(A +X) = detA + detXcoefficients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coefficients entiers. a) Montrer que si A∈ GL (Z) alors|detA| = 1.n Montrer que detA = 0 puis A = 0. b) Soient A,B∈M (R) vérifiant :n ∀k∈{0, 1,...