Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Déterminants

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Déterminants Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02650 ] [correction] On note V l’ensemble des matrices à coeﬃcients entiers du type  Exercice 1 [ 00738 ] [correction] a b c d Soit A∈M (K) de colonnes C ,...,C .n 1 n  d a b c Calculer le déterminant de la matrice B de colonnes  c d a b b c d a C −C ,...,C −C ,C −C1 2 n−1 n n 1 et G l’ensemble des M∈V inversibles dansM (R) et dont l’inverse est dans V.4 a) Quelle est la structure de G? Exercice 2 [ 02355 ] [correction] b) Soit M∈V. Montrer que M∈G si, et seulement si, detM =±1. Soient A,B∈M (R) telles que AB =BA.n c) Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit. 2 2Montrer que det(A +B )> 0. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02659 ] [correction] Soient des matrices A,B∈M (Z) telles que detA et detB sont premiers entreExercice 3 [ 00752 ] [correction] n eux.Soient A∈M (C) et ϕ ∈L(M (C)) déterminé parn A n Montrer l’existence de U,V ∈M (Z) telles quen ϕ (M) =AMA UA +VB =In Calculer la trace et le déterminant de ϕA Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02695 ] [correction] Soit A∈M (C) vériﬁant pour tout X∈M (C),Exercice 4 [ 02603 ] [correction] n n On dit qu’une matrice A∈M (R) est élément de GL (Z) si la matrice A est àn n det(A +X) = detA + detXcoeﬃcients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coeﬃcients entiers. a) Montrer que si A∈ GL (Z) alors|detA| = 1.n Montrer que detA = 0 puis A = 0. b) Soient A,B∈M (R) vériﬁant :n ∀k∈{0, 1,...

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

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Publié par	algebre-mpsi
Nombre de lectures	126
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Déterminants

Exercice 1[ 00738 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)de colonnesC1     Cn.
Calculer le déterminant de la matriceBde colonnes

C1−C2     Cn−1−Cn Cn−C1

Exercice 2[ 02355 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)telles queAB=BA.
Montrer quedet(A2+B2)>0.

Exercice 3[ 00752 ][correction]
SoientA∈ Mn(C)etϕA∈ L(Mn(C))déterminé par

ϕA(M) =AM

Calculer la trace et le déterminant deϕA

Enoncés

Exercice 4[ 02603 ][correction]
On dit qu’une matriceA∈ Mn(R)est élément de GLn(Z)si la matriceAest à
coeﬃcients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coeﬃcients entiers.
a) Montrer que siA∈GLn(Z)alors|detA|= 1.
b) SoientA B∈ Mn(R)vériﬁant :

∀k∈ {01    2n} A+kB∈GLn(Z)

CalculerdetAetdetB.

Exercice 5[ 02604 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)(n>2) de colonnesA1     AnetB∈ Mn(R)de colonnes
B1     Bndéterminées par
Bj=XAi
i6=j

ExprimerdetBen fonction dedetA.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02650 ][correction]
On noteVl’ensemble des matrices à coeﬃcients entiers du type

cbaddcba
cbbadcda

etGl’ensemble desM∈Vinversibles dansM4(R)et dont l’inverse est dansV.
a) Quelle est la structure deG?
b) SoitM∈V. Montrer queM∈Gsi, et seulement si,detM=±1.
c) Donner un groupe standard isomorphe àGmuni du produit.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02659 ][correction]
Soient des matricesA B∈ Mn(Z)telles quedetAetdetBsont premiers entre
eux.
Montrer l’existence deU V∈ Mn(Z)telles que

U A+V B=In

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02695 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)vériﬁant pour toutX∈ Mn(C),

det(A+X) = detA+ detX

Montrer quedetA= 0puisA= 0.

Exercice 9X MP[ 00229 ][correction]
SoientAetHdansMn(R)avec rgH= 1. Montrer :

det(A+H) det(A−H)6detA2

Exercice 10[ 01413 ][correction]
Soientn∈N?,EunK-espace vectoriel de dimensionn,f∈ L(E)et
B= (e1  en)une base deE. Montrer que pour tout(x1  xn)∈En:

n
XdBet (x1  f(xj)  xn) =tr(f) dBet(x1  xn)
j=1

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Exercice 11[ 01587 ][correction]
SoientA∈ M2n(R)antisymétrique etJ∈ M2n(R)la matrice dont tous les
coeﬃcients sont égaux à 1. Etablir

∀x∈Rdet(A+xJ) = detA

Exercice 12[ 03278 ][correction]
SoitA= (ai j)∈ Mn(R)vériﬁant


Montrer

n
∀(i j)∈ {1     n}2 aij>0et∀i∈ {1     n}Xaij61
j=1

|detA|61

Enoncés

Exercice 13[ 03417 ][correction]
On note GLn(Z)l’ensemble formé des matrices inversibles d’ordrenà coeﬃcients
entiers dont l’inverse est encore à coeﬃcients entiers.
Soienta1     andes entiers(n>2). Montrer qu’il existe une matrice de GLn(Z)
dont la première ligne est formée des entiersa1 a2     ansi, et seulement si, ces
entiers sont premiers dans leur ensemble.

Exercice 14[ 03641 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)vériﬁant

∀i∈ {1     n}|aij|>X|aij|
j6=i

a) Montrer queAest inversible.
b) On suppose en outre
∀i∈ {1     n} aii>0

Montrer quedetA >0.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La somme des colonnes deBest nulle doncdetB= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
On a
det(A+iB) det(A−iB) = det(A2+B2)

carAetBcommutent.
Ordet(A−iB) = det(A+iB)doncdet(A2+B2) =zz¯>0.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
NotonsEijles matrices élémentaires deMn(C).
On observe
n
ϕA(Eij) =XakiEkj
k=1
Par suite dans la base(E11     En1 E12     En2     E1n     Enn), la
matrice de l’endomorphismeϕAest diagonale par blocs avecnblocs diagonaux
tous égaux àA. On en déduit

trϕA=ntrAetdetϕA= (detA)n

Exercice 4 :[énoncé]
a)AA−1=Indonne(detA)(detA−1) = 1ordetAdetA−1∈ZdoncdetA=±1.
b) PosonsP(x) = det(A+xB).Pest une fonction polynomiale de degré inférieur
àn.
Pour toutx∈ {01    2n}, on aP(x) =±1doncP(x)2−1 = 0.
Le polynômeP2−1possède au moins2n+ 1racines et est de degré inférieur àn,
c’est donc le polynôme nul.
On en déduit que pour toutx∈R,P(x) =±1.
Pourx= 0, on obtientdetA=±1.
Pourx→+∞,
detx1A+=xP(nx
B)→0
donnedetB= 0.

Exercice 5 :[énoncé]
On noteBla base canonique de l’espace des colonnes,

avec

Par suite

detA= dBet(A1     An)

detB= dBet(B1     Bn) = dBeti=nX1Bi B2     Bn!

n n
XBi= (n−1)XAi
i=1i=1

n
detB= (n−1) dBeti=Xn1Ai B2−i=Xn1Ai     Bn−XAi!
i=1

Ce qui donne
i=n1  −An!= (−1)n−1(n−1) det(A1     A
detB= (n−1) dBetXAi−A2 n)

Finalement

detB= (−1)n−1(n−1) detA

Exercice 6 :[énoncé]
a)G⊂GL4(R),Gest non vide, stable par passage à l’inverse et par produit car
Vl’est. AinsiGest un sous-groupe de GL4(R)donc un groupe.
b) SiM∈GalorsdetMdetM−1∈ZetdetM×detM−1= detI4= 1donc
detM=±1.
Inversement sidetM=±1alorsM−1=tcomM∈VdoncM∈G.
c)
detM= ((a+c)2−(b+d)2)((a−c)2+ (b−d)2)

donc
detM=±1⇔(((aa−+cc))22+−((bb−+dd))22==±±11
La résolution de ce système à coeﬃcients entiers donne à l’ordre près :
a b c d=±1000.
PosonsJla matrice obtenue poura=c=d= 0etb= 1. On vériﬁeJ4=I4.
L’applicationϕ:U2×Z4Z→Gdéﬁnie parϕ(ε n) =εJnest bien déﬁnie, c’est
un morphisme de groupe, injectif et surjectif. AinsiGest isomorphe àU2×Z4Z
ou plus élégamment àZ2Z×Z4Z.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Il existeu v∈Ztels queudetA+vdetB= 1.U=ut(comA)etV=vt(comB)
conviennent alors.

Exercice 8 :[énoncé]
Notons que pourn= 1: la relationdet(A+X) = detA+ detXest vraie pour
toutAet toutX.
On suppose dans la suiten>2.
PourX=A, la relationdet(A+X) = detA+ detXdonne2ndetA det= 2Aet
doncdetA= 0.
La matriceAdonc par inversible et en posantn’est r < négal à son rang, on peut
écrireA=QJrPavecP Qinversibles et
Jr=(I0r)O(n0)−r

Posons alorsX=QJ0rP

avec
Jr0=(O0r)I(n0−)r

PuisqueA+X=QInP=QP, la matriceA+Xest inversible et donc
detX= det(A+X)6= 0.
On en déduit que la matriceJr0est l’identité et doncr= 0puisA=On.

Exercice 9 :[énoncé]
La matriceHest équivalente à la matriceJ1dont tous les coeﬃcients sont nuls
sauf celui en position(11). NotonsP Q∈GLn(R)telles que

H=QJ1P

et introduisonsB∈

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