Sujet : Algèbre linéaire, Etude d'une famille de suites récurrentes

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Suites récurrentes. Polynômes. Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

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Publié par	algebre-mpsi
Nombre de lectures	60
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

Etude d’une famille de suites récurrentes

Dans tout ce problèmedésigne un réel.
On se propose d’étudier les suites réelles ()∈ℕvérifiant une relation de récurrence du type :
Pour toutdeℕ,+1=+()
oùest un polynôme.
Leℝ- espace vectoriel suites réelles est noté desℝℕ.

Un élément deℝℕ (est noté indifféremment)∈ℕou.
La partie I étudie le cas oùest constant.
La partie II étudie le cas où≠1 .
La partie III étudie le cas où=1 .

Partie I

Dans cette partie, on pose(0)={∈ℝℕ;∃∈ℝ,∀∈ℕ,+1=+}.
1. Soit∈( 0). Il existe doncréel tel que pour toutdeℕ:+1=+.
Montrer l’unicité de. On notera=pour∈( 0).
2.a Déterminer1(0).
2.b Déterminer0(0).
Dans le reste de cette partie,est supposé différent de 1.
3. Montrer que(0)est unℝ- espace vectoriel .
4. Soitla suite constante égale à 1 (pour toutdeℕ,=1 ) et soitla suite définie, pour toutde
ℕ, par :=.
Montrer que (, une famille libre de) est(0). On précisera les valeurs deet.
5. Soit∈( 0).
tel queλ0+0=0
5.a Montrer qu’il existe (λ,)∈ℝ2uniqueλ1+1=1.
5.b Montrer que pourλetdéfinis à la question précédente, pour toutdeℕ,
=λ+.
5.c Que peut-on en conclure ?
6. Déterminer(0). On donnera en particulier la dimension de(0).

Partie II

Dans cette partie, on suppose≠1 .
On fixe un entier naturel. On noteℝleℝ polynômes à coefficients réels de- espace vectoriel des
degrés inférieurs ou égaux à.
On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.
On pose()={∈ℝℕ;∃∈ℝ,∀∈ℕ,+1=+()}

1.a On considère l’applicationϕdeℝdansℝ+1définie par :ϕ()= ((0),(1),…,() ).
Montrer queϕest un isomorphisme deℝ- espaces vectoriels.
1.b Soit∈(). Il existe∈ℝtel que :∀∈ℕ,+1=+() .
Montrer l’unicité de. On notera=pour∈().
2. Montrer que()est unℝ- espace vectoriel .

4.
5.

5.a

5.b

6.a

6.b
7.

Montrer que l’applicationθdéfinie sur()parθ()=est une application linéaire de()dans
ℝ.

Déterminer kerθ(noyau deθ).
Pour∈ℕ, on pose=(+1)−.
Quel est le degré de?

Montrer que la famille (0,1,…,) est une base deℝ

Montrer que pour toutdans{0,1,…,},est dans l’image deθ Im, notéeθ.
Que peut-on en conclure ?
Déduire des questions précédentes la dimension de().
Pour∈ {0,1,…,}, on pose()la suite définie, pour toutdeℕ, par :()=.
On rappelle queest la suite définie, pour toutdeℕ, par :=.
Montrer que ((0),…,(),) est une base de().
Application : déterminer la suite ()∈ℕvérifiant :
∀ ∈ℕ,1=2−2 5
2++.
0= −

Partie III

Dans cette partie, on suppose que=1 .
1. En adaptant les résultats obtenus à la partie précédente, déterminer :
1()={∈ℝℕ;∃∈ℝ,∀∈ℕ,+1=+()}.
2. Application : déterminer la suite ()∈ℕvérifiant :
∀∈ℕ,+1=−6+1
= −2 .
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