Les devoirs maisons Devoir maison 2.

classe-de-seconde - Parthe

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Sujets

Formules mathématiques simples

ndeDevoir maison 2 Construction de graphique et optimisation 2 F
Le but de ce devoir est dans une situation géométrique donnée de calculer un volume en
fonction d’un paramètre x. A l’aide d’un graphique nous pourrons alors conjecturer la valeur
minimale de ce volume qui dépend de x.
Description de la situation.
Une sphère de rayon 4 est placée sur un plan horizontale (P). Le point de contact entre le plan
et la sphère est noté H.
Sur la perpendiculaire au plan passant par H on place un point S au delà du « pôle nord » de la
sphère. (donc SH > 8)
On trace un cône de sommet S, et de disque de base reposant sur (P), de telle sorte que ce
cône soit tangent à la sphère.
Voici un dessin de cette situation ainsi que les mesures correspondantes.
Le volume V du cône dépend de la position de S (donc de la valeur de x). On cherche à
calculer la valeur minimale de V.
Pour cela nous allons tout d’abord raisonner dans la figure suivante, qui est une coupe de la
figure précédente.
Dans toute la suite du devoir, chacune de vos réponses devront être justifiées, et les noms des
théorèmes explicités.
1- Quelle est la nature du triangle AOS ?
2 22- Montrer alors que AS = x – 8x.
1^
3- Montrer que : AOS = α.
4- En exprimant tan α de deux manières différentes montrer que :
x AS
=
r 4
5- En déduire que :
16x2r =
x - 8
6- Montrer que le volume du cône est donnée par la formule:
216π x
V(x) =
3 x - 8
7- Dans un repère orthonormé tracer la courbe associée à V(x). (On prendra soin de prendre
des valeurs de x correspondant à la réalité du problème géométrique)
8- A l’aide de la courbe précédente trouver à quelle hauteur nous devons placer S pour que le
volume du cône soit minimal.
9- Quel est alors le volume du cône ?
10- Que se passe-t-il si le point S se rapproche de plus en plus du pôle nord de la sphère ?
Pour faire ce devoir il faut se rappeler :
• La formule de l’aire d’un disque.
• Celle du volume d’un cône.
• Que la somme des mesures des angles d’un triangle fait …
• Des formules de trigonométries.
• Des identités remarquables.
• De la manière dont on a tracé les courbes en classe.
• D’avoir de la patience et de l’envie.
Bonnes vacances.
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