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BTN 1995 1 Btn 1995 Exercice 1 (8 points) Un sac contient 5 jetons : • Un jeton bleu valant 3 points, • deux jetons rouges valant chacun 2 points, • deux jetons verts valant chacun 1 point. 1) On tire un jeton au hasard, quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ? 2) On tire un jeton au hasard, quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux points ? 3) On tire un jeton, puis un deuxième sans remettre le premier jeton dans le sac. a. Faire un tableau indiquant tous les tirages possibles et faisant apparaître les couleurs obtenues et la somme des points obtenue. b. Calculer la probabilité de l'événement A : Tirer deux jetons de couleurs différentes. c. Calculer la probabilité de l'événement B : Obtenir 4 points. d. Calculer la probabilité de l'événement C : Obtenir 4 points avec deux jetons de couleurs différentes. e. Calculer la probabilité de l'événement D : Obtenir au moins 4 points. Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien : Corrigé exercice 1 Exercice 2 (12 points) Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [ 1 ; 6 ] par : f(x) = x 2 4 ? 1? 2 lnx et sa courbe représentative Cf dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

r2 br5

r2 v1

rv3 rv3

cf dans le plan rapporté

courbe représentative

jeton au hasard

v1 bv4

rb5 rb5

Sujets

Graphe d'une fonction

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Langue	Français

Extrait

BTN 1995 Btn 1995

Exercice 1 (8 points) Un sac contient5jetons : •Un jeton bleu valant3points, •deux jetons rouges valant chacun2points, •deux jetons verts valant chacun1point. 1) Ontire un jeton au hasard, quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge? 2) Ontire un jeton au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux points? 3) Ontire un jeton, puis un deuxième sans remettre le premier jeton dans le sac. a.Faire un tableau indiquant tous les tirages possibles et faisant apparaître les couleurs obtenues et la somme des points obtenue. b.Calculer la probabilité de l’événementA: "Tirer deux jetons de couleurs diﬀérentes". c.Calculer la probabilité de l’événementB: "Obtenir4points". d.Calculer la probabilité de l’événementC: "Obtenir4points avec deux jetons de couleurs diﬀérentes". e.Calculer la probabilité de l’événementD: "Obtenir au moins4points".

Pour voir le corrigé de l’exercice 1. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 1

Exercice 2 (12 points) Soit la fonctionfdéﬁnie sur l’intervalleI6 ]= [1 ;par : 2 x f(x) =−1−2 lnx 4 et sa courbe représentativeCfdans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique2cm. ′ 1.Déterminer la dérivéefde la fonctionfet vériﬁer que sur l’intervalleIon a : 2 x−4 ′ f(x) = 2x ′ 2.Etudier surIle signe def(x)et établir le tableau de variations de la fonctionf. 3.Tracer la courbeCfsurI. 4.Soitgla fonction déﬁnie surIpar : g(x) =xlnx−x ′ a.Déterminer la fonctiongdérivée de la fonctiong. b.En déduire la primitiveFde la fonctionftelle que :F(1) = 0.

Pour voir le corrigé de l’exercice 2. cliquez sur le lien :Corrigé exercice 2

2 Corrigé Btn 1995

Exercice 1 2 1.P(R) == 0,4. 5 3 2.Si on notepcette probabilité,p0= =,6. 5 3. a.On peut construire le tableau :

   1er tirage VB R R V 3 2 2 1 1    2ème tirage  ❅ B3RB5RB5V B4V B4 ❅ ❅ R2BR5RR4V R3V R3 ❅ ❅ R2BR5RR4V R3V R3 ❅ ❅ V1BV4RV3RV3V V2 ❅ ❅ V1BV4RV3RV3V V2 ❅ Il y a20tirages posibles.

16 b.P(A= 0) =,8. 20 6 c.P(B) == 0,3. 20 4 d.P(C) == 0,2. 20 10 e.P(D= 0) =,5. 20

BTN 1995

Exercice 2

2 2x1x2x−4 ′ 1.On a :f(x) =−2×=−= 4x2x2x 2. (x−2)(x+ 2) ′ f(x) = 2x Cette expression est du signe de(x−2)sur l’intervalleI.(x+ 2)et2xsont strictement positifs pour tout réelx∈I. On obtient donc le tableau :

3.On obtient la courbeCf:

′ f(x)−0 +

3 −8−2 ln 6 4 =−0,75≈4,4 ❅✒ f(x)  ❅ ❅❘ −2 ln 2 ≈ −1,4

y 4,4

1 ~ j ~ i 1 3 − 4 −1,4

1 ′ 4. a.g(x) = lnx+x× −1 = lnx. On remarque quegest une primitive de la fonctionln. x b.Les primitives de la fonctionfs’écrivent donc : 3 1x1 3 F(x) =× −x−2 (xlnx−x) +k=x+x−2xlnx+k, 3 412 d’après la question précédente. 1 13 En utilisantF(1) = 0, on obtient :F+ 1 +(1) =k= 0. Soit :k=−. Et la primitive demandée s’écrit : 12 12 1 13 3 F(x) =x+x−2xlnx− 12 12