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concours d'entrée

Durée : 1 heure 30 Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes. [ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ 5 mai 2010 EXERCICE I On se place dans le plan complexe rapporté au repère ( O, ??u , ??v ) orthomormé, di- rect. Soient A le point d'affixe ZA = 1+3i et B le point d'affixe ZB = 2. I. I-1. Dessiner le triangleOAB . I-2. Expliquer pourquoi le triangleOAB est isocèle en A. I-3. On considère le point C , symétrique du point O par rapport au point A et le point D, symétrique du point B par rapport au point O. Placer les points C et D sur la figure de I-1-. Déterminer les affixes ZC et ZD des points C et D. I-4. On considère le point E , image du point A par l'homothétie de centre O et de rapport 13 . Placer le point E sur la figure de I-1-. Déterminer l'affixe ZE du point E . I-5. On désigne par F le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; ?3) et (D ; 2).

zb ?zc

barycentre des points

epreuve oral

epreuve écrite

candidats réussissant l'épreuve orale

probabilité p1

point d'affixe za

candidat

Sujets

Candidat

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Publié par	apmep
Publié le	01 mai 2010
Nombre de lectures	48
Langue	Français

Extrait

[Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH\ 5 mai 2010

EXERCICE I ³ ´ −→−→ On se place dans le plan complexe rapporté au repèreO,u,vorthomormé, di rect. SoientAle point d’afﬁxeZA=1+3i etBle point d’afﬁxeZB=2. I. I1.Dessiner le triangleO AB. I2.Expliquer pourquoi le triangleO ABest isocèle enA. I3.On considère le pointC, symétrique du pointOpar rapport au pointA et le pointD, symétrique du pointBpar rapport au pointO. Placer les pointsCetDsur la ﬁgure de I1. Déterminer les afﬁxesZCetZDdes pointsCetD. I4.On considère le pointE, image du pointApar l’homothétie de centreO 1 et de rapport. 3 Placer le pointEsur la ﬁgure de I1. Déterminer l’afﬁxeZEdu pointE. I5.On désigne parFle barycentre des points pondérés (A(; 2),B;−3) et (D; 2). Déterminer l’afﬁxeZFdu pointF. Placer le pointFsur la ﬁgure de I1. I6.Justiﬁer que les pointsB,EetFsont alignés. ZF−ZC I7.On noteZle complexe déﬁni par :Z= ZB−ZC a.Déterminer le réelatel queZ=ai. On détaillera les calculs. b.Déterminer le module|Z|et un argument arg(Z) deZ. c.En déduire la nature du triangleC B F. On justiﬁera la réponse. EXERCICE II

On considère la fonctionfdéﬁnie, pour tout réelxde ]1 ;+∞[, par :

x f(x)= p 2 x−1 ³ ´ −→−→ SoitCla courbe représentantfO,dans un repèreı,orthonormé (1 cm d’unité). II. II1.a.Déterminer limf(xlim) etf(x). x→+∞ + x→1 b.En déduire queCadmet deux asymptotesΔ1etΔ2dont on donnera les équations. II2. a.Soitgla fonction déﬁnie, pour tout réelxde ]1 ;+∞[, par :g(x)= 2′ x−1. Justiﬁer que sa dérivéegvériﬁe, pour tout réelxde ]1 ;+∞[ : ′ g(x)=f(x).

Concours GEIPI–POLYTECH

′ b.fdésigne la dérivée def. Justiﬁer que, pour tout réelxde ]1 ;+∞[, on a : −1 ′ f(x)=¡ ¢p 2 2 x−1x−1 c.Dresser le tableau des variations def. d.Compléter le tableau suivant, en donnant des valeurs approchées à 0, 01près des imagesf(x). x2 41,1 1,25 1,5 1,75 f(x) ³ ´ −→−→ e.Tracer la courbeC,Δ1etΔ2O,dans le repèreı,donné. II3.Soient deux réelsaetbtels que 1<a<b. Z b On déﬁnit l’intégrale :J(a,b)=[f(x)−1) dx. a a.En utilisant la question II2a, justiﬁer que l’on a : p 2 2 J(a,b)=b−1−a−1−b+a b.Déterminer, en fonction deb, la limite :I(b)=limJ(a,b). + a→1 −1 2 II4. a.On admet que, pour tout réelb>1, on a :b−1−b=. 2 b−1+b Déterminer la limiteK=limI(b). b→+∞ b.Donner une interprétation géométrique de ce que représenteK.

EXERCICE III

Un certain concours d’entrée dans une école d’ingénieurs consiste en plu sieurs épreuves : – Aprèsexamen de leur dossier scolaire, 15 % des candidats (les meilleurs) sont admis directement sans passer d’autres épreuves. – Lesautres candidats, non admis sur dossier, passent une épreuve écrite. On estime que 60 % des candidats réussissent cette épreuve écrite et les autres sont recalés. – Lescandidats ayant réussi l’épreuve écrite sont alors convoqués pour passer une épreuve orale. Les candidats réussissant l’épreuve orale sont alors admis. On estime que les candidats ont une chance sur trois de réussir l’épreuve orale. On considère les évènements suivants : –D: « Le candidat est admis sur dossier » –E: « Le candidat passe et réussit l’épreuve écrite » –O: « Le candidat passe et réussit l’épreuve orale » –A: « Le candidat est admis ». On noteEl’évènement contraire deE. On noteP(D) la probabilité de l’évènementDetPE(O) la probabilité de l’évè nementOsachant que l’évènementEest réalisé. III.III1.Compléter le schéma donné. III2. a.Compléter à l’aide des hypothèses : P(D)=. . .P(E)=. . .PR(O)=. . . D

Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH2

5 mai 2010

Concours GEIPI–POLYTECH

b.Déterminer la probabilitéP(E) qu’un candidat passe et réussisse l’épreuve écrite et la probabilitéP(O) qu’un candidat passe et réus sisse l’épreuve orale. c.On notepla probabilitéP(A) qu’un candidat soit admis dans cette école d’ingénieurs. Justiﬁer quep32.vaut 0, III3.Cinq amis décident de passer ce concours (les résultats obtenus par chaque candidat sont indépendants les uns des autres). a.Exprimer, en fonction dep, la probabilitéP1que les cinq soient ad mis. −4 Puis donner une valeur approchée deP1près.à 10 b.Exprimer, en fonction dep, la probabilitéP2qu’au moins un des cinq soit recalé. −4 Puis donner une valeur approchée deP2près.à 10 c.Exprimer, en fonction dep, la probabilitéP3qu’au moins un des cinq soit admis. −4 Puis donner une valeur approchée deP3à 10près. d.Exprimer, en fonction dep, la probabilitéP4que trois exactement soient admis. −4 Puis donner une valeur approchée deP4à 10près. III4.s dansPar hasard, je rencontre un candidat qui me dit avoir été admi cette école d’ingénieurs. Quelle est la probabilitéPA(D) qu’il ait été ad mis sur dossier ?

EXERCICE IV On considère la suite (un) déﬁnie,pour tout entierndeN, par : n∈N −n un=e IV. IV1.a.Just décroiss iﬁer que la suite (un)n∈est ante. N b.Montrer que, pour tout entierndeN, on a : 0<un61. IV2.Étudier le signe de la fonctionhdéﬁnie, pour tout réeltde ]0 ;+∞[, par :

h(t)=1−ln(t) IV3.Soit la fonctiongdéﬁnie, pour tout réeltde ]0 ;+∞[, par :

g(t)=t(2−ln(t)) ′ ′ a.Déterminerg(t) oùgest la dérivée deg. On détaillera le calcul. 2 b.En déduire la primitiveHde la fonctionh. Onqui s’annule en e justiﬁera la réponse. IV4.On considère maintenant la suite (vpour tout entier) déﬁnie,nde n n∈N N, par : Z− n e vn=(1−ln(t)) dt. −(n+1) e a.Justiﬁer que, pour tout entierndeN, on a :vn>0. b.À l’aide de la question IV3b, calculervnen fonction den. On dé taillera le calcul. c.limDéterminer alorsvn. n→+∞ IV5.Pour tout entierndeN, on pose :Sn=v0+v1+..∙ ∙ ∙ +vn. a.ExprimerSnen fonction den. b.limDéterminer alorsSn. n→+∞

Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH3

5 mai 2010

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