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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 3 d´ecembre 2011 ´DEVOIR SURVEILLE N˚03 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet se compose de 6 exercices tr`es classiques et tr`es d´etaill´es. Lisez bien le sujet en entier avant de choisir un ordre de pr´ef´erence. Vous d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF EXERCICE 1 : Lignes de niveau Mots-cl´es : Produit scalaire, d´eterminant en BOND, ´equations cart´esiennes...≈ 4 pt EXERCICE 2 : G´eom´etrie plane Mots-cl´es : racine d’une ´equation polynomiale, trigo, ´equation normale .......≈ 4 pt ´EXERCICE 3 : Etude d’une courbe plane param´etr´ee Mots-cl´es : en coordonn´ees cart´esiennes ......................................≈ 3 pt EXERCICE 4 : EDL d’ordre 2 `a coeﬃcients constants Mots-cl´es : Probl`eme de Cauchy .............................................≈ 3 pt EXERCICE 5 : EDL d’ordre 2 `a coeﬃcients non constants Mots-cl´es : Changement de fonction inconnue................................≈ 4 pt ´EXERCICE 6 : Equation int´egrale Mots-cl´es : ´equation diﬀ´erentielle lin´eaire d’ordre 1 ..........................≈ 3 pt Nb : L’utilisation des voitures radio-command´ees est interdite. 1 EXERCICE 1 : Lignes de niveau Le plan P est rapport´e `a un RONDR = (O,~ı,~). α a 1. Soit ~u un vecteur non nul, A un point du plan et λ un r´eel.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Mathématiques

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Nombre de lectures	80
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚03

dur´eedel’´epreuve4heures

samedi3de´cembre2011

Lesujetsecomposede6exercicestr`esclassiquesettre`sd´etaille´s.Lisezbienlesujeten
entieravantdechoisirunordredepre´fe´rence.Vousd´ebutezparcequevoussavezle
mieux faire !

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

EXERCICE 1 : Lignes de niveau
Mots-cl´es:Produitscalaire,d´eterminantenBOND,e´quationscart´esiennes. . .≈4 pt

EXERCICE2:G´eome´trieplane
Mots-cl´es:racined’unee´quationpolynomiale,trigo,´equationnormale. . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE3:Etuded’unecourbeplaneparame´tr´ee
Mots-cl´es:encoordonne´escat´siennes. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt
r e

EXERCICE4:EDLd’ordre2a`coeﬃcientsconstants
Mots-cle´s:Probl`emedeCauchy. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

EXERCICE5:EDLd’ordre2`acoeﬃcientsnonconstants
Mots-cl´es:Changementdefonctioninconnue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE6:Equationint´egrale
Mots-cle´s:e´quationdiﬀ´erentielleline´aired’ordre1. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

Nb :L’utilisation desturesradvoidne´seoic-moamesttentidier.

3.
a.

EXERCICE 1:Lignes de niveau
Le planPtseDe`aunRONrapport´R= (~Oı~).
Soit~uαβun vecteur non nul,Abaun point du plan etλun.l´ree
De´terminezunee´quationcarte´siennedel’ensembledespointsMuplanv´eriﬁantd
(A−M|→~u) =λ

Pre´cisezlanaturedecetensemble.
Soit~uαβun vecteur non nul,Abaun point du plan etλ´reenul.
De´terminezunee´quationcarte´siennedel’ensembledespointsMyxﬁarintlaup´envd
−
Det(AM→u~) =λ

Precisez la nature de cet ensemble.
´
SoitA B Ctniopsiorlinanotsupsd´egnalentλnu´ree.l
D´eterminezl’ensembledespointsMdlaup´envﬁarint

2M A2+ 3M B2−4M C2=λ

De´terminezl’ensembledespointsMtniraﬁvne´puald

2M A2+ 3M B2−5M C2=λ

EXERCICE 2:oe´Gte´mrieplane
Le planP´t`euaRntsarpproDNOeR= (O~ı~).
D´emontrezpourtoutθ∈i−π;22πhn±π6ola relation :

3
n 3θtanat3θn−2θ3−1tnaθ
ta =

Soitλ∈R⋆elnonnul.R´esolveuzdpannrsamae`rtree´Rnol’´equati

t3−3t+λ(1−3t2) = 0

On noterat1 t2ett3les racines distinctes de (1).
Indication: on pourra posert= tan(θ) etλ= tan(α).
Onconsid`erepourk∈ {123}les droitesDkoitasn’duqe´

t2kx+tky+a= 0

`ua∈R
o
D´eterminezunee´quationnormaledeD1D2etD3.

(1)

3.
4.

D´eduisez-enqueleslesdroitesD1D2etD3e´ar.le´uqlitatrianglfeormentun

´
EXERCICE 3:eeetr´ram´alpeapencenubruotuEd’de
Le planPest rapporte a un RONDR= (~~ıO).
´ `
Onconside`rel’arcplanparam´etre´par
xyoc==sins22((tt((sni)sco)tt))

Domainedede´ﬁnition,re´ductiondel’intervalled’e´tude:
Enutilisantlessyme´triesdexetyou,vonsm´’leduterertuqzererestreepeutˆetnieta`

[0π4].
´
Etudedesvariationssimultane´essur[0 π4] :

´
•ofseitcncsnodroon´ons.eetudiEnodsaiitvsrazeel
Pourl’´etudedusignedey′, on pourra noterα= Arcsin33!.
•serDabetzlsesvdeauleitnoraailuatssmisden´eexety. Vous calculerez les valeurs
dex(α),y(α).
´
Etude des tangentes enM(0)etM(α).
Trace´delacourbe.
3
Onprendra96≈0 0 9 225 et4
≈

EXERCICE 4:LDEro’dtantconssa`ocrd2enestﬃeic

1.a.uszevlosR´erRiﬀndioatientre´euqe´’llle
2y′′−3y′+y= 0

b.tiua(2onui)qerv´losaoitulednqe´’D´eterminezlnsioitndcoeseliﬁsetnavius
•orl’inigsspaarepeativsentpr´ebereitnoosulteetdeceruocaLO00.
•`al’origrbeadmetioetatgnniueenrdtteCuoceocedetnedtneicﬃeurteecir−2.1
2.evszseloR´ruR´’qelondiuatientiﬀ´erelle
2y′′−3y′+y=t+ 1

D´eterminezlasolutionduprobl`emedeCauchyd’ordre2
yy′(′0)=+2y′30et+yy′2==0)(0

EXERCICE 5:DLEord’e2drco`anestﬃeicnotsoncnants
Lebutdel’exerciceestdere´soudresur]−1´el’1[iﬀ´erentquationdeille
(x2−1)y′′(x) + 3xy′(x)−8y(x) = 1−x2

(2)

(3)

(4)

(5)

3.
4.

2.
3.

Re´solvezsurR:teanivdiﬀ´erentiellesul´’qeauitno

z′′(t) + 9z(t) =−sin2(t)

Soityune fonction de ]−11[ dansR. On appellez]rus0e´dneinﬁonafioctl π[ par :

∀t∈]0 π[

z(t) = sin(t)y(cost)

6()

Pour toutx∈]−11[, donnez l’expression dey(xa`)ia’ldedezet de fonctions usuelles.
D´d isez-en que
e u

yelbavire´dsiofxur]sustdee−11[si et seulement siz0r]estdeuxofsi´drevibaelus π[.

Pour toutx∈]−11[, exprimezy′(x) ety′′(xdidelaa’)`ezvri´esds.eeedeste
´
D´emontrezqueyest solution de (8)si et seulement sizielleiﬀ´erentuqtaoidnﬁiueene´erv´
que l’on explicitera.
Donnez enﬁn les solutions de (8) sur ]−11[.

´
EXERCICE 6:elarEqtiuainonegt´
Soitg:R→Rune fonction de classeC1.
De´montrezquesiunefonctionfcontinue surRiﬁere´v
pour toutx∈R f(x) =g(x) +Z0xt f(t)dt

(7)

alorsfetsentdiremessan´ecessalceC1neitleelnoid´ﬀretesatisfaiete´dtetiuaeqe´unezinrm
parfainsi que la valeurf(0).
D´eduisez-enqu’ilexisteuneuniquefonctioncontinuef:R→Riﬁerv´.)7(tna
Calculezflorsque

a.gestde´nﬁeiusrRparg(x) =c,uo`c∈Resnetusnoctnatnodeee´.n
b.gruseinﬁe´dtseRparg(x) =x2.
c.greiuse´nﬁsedtRparg(x) = ch (x) exp(x22).

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