Correction de Devoir Surveillé N°05

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 9 f´evrier 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚05 `PROBLEME 1 Soit (u ) une suite de r´eels non nuls, on lui associe la suite (p ) d´efinie par :n n∈N n n∈N nY ∀n∈N , p = u =u ×···×un k 1 n k=1 Partie 2. Une condition n´ecessaire de convergence 1. On suppose que le suite (p ) est convergente vers une limite non nulle ∈R . En cen n∈N cas, la suite extraite (p ) est aussi convergente de limite . Comme est diff´erenten−1 n≥2 pn de 0, il s’ensuit par op´erations alg´ebriques queu = est convergente de limite 1 = .n pn−1 N 1 n+1 2. Dans cette question, on suppose que∀n∈N , u = 1+ = .n n n Soit n∈N , par t´elescopage, on a n nY Yk+1 p = u = =n+1n k k k=1 k=1 Il s’ensuit imm´ediatement que (p ) est divergente vers +∞. Nn n3. Dans cette question, on suppose que∀n∈N , u = cos(a/2 ), ou` a∈R\πZ est un r´eeln fix´e. 1 n n n−1a. Soitn∈N ,remarquonstoutd’abordquesin(a/2 )×cos(a/2 ) = sin(a/2 .Montrons 2 par r´ecurrence sur n∈N que 1n∀n∈N, sin(a/2 )×p = sinan n2 1 Initialisation : pour n = 1, sin(a/2)cos(a/2) = sin(a). 2 1n H´er´edit´e : soit n∈N tel que sin(a/2 )p = sina.n n2 1 n+1 n+1 n+1 nsin(a/2 ) p = sin(a/2 )×cos(a/2 )×p = sin(a/2 )×pn+1 n n 2 1 1 1 = × sina = sina. n n+12 2 2 Conclusion : la formule est vraie pour n = 1, elle est h´er´editaire `a partir du rang 1. Par le principe de r´ecurrence, elle est donc vraie pour tout entier nature non nul.N 1 ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ℓ⋆ℓ⋆ℓ⋆ℓℓ sina 1 a b.