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Correction de Devoir Surveillé N°05

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 9 f´evrier 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚05 `PROBLEME 1 Soit (u ) une suite de r´eels non nuls, on lui associe la suite (p ) d´eﬁnie par :n n∈N n n∈N nY ∀n∈N , p = u =u ×···×un k 1 n k=1 Partie 2. Une condition n´ecessaire de convergence 1. On suppose que le suite (p ) est convergente vers une limite non nulle ∈R . En cen n∈N cas, la suite extraite (p ) est aussi convergente de limite . Comme est diﬀ´erenten−1 n≥2 pn de 0, il s’ensuit par op´erations alg´ebriques queu = est convergente de limite 1 = .n pn−1 N 1 n+1 2. Dans cette question, on suppose que∀n∈N , u = 1+ = .n n n Soit n∈N , par t´elescopage, on a n nY Yk+1 p = u = =n+1n k k k=1 k=1 Il s’ensuit imm´ediatement que (p ) est divergente vers +∞. Nn n3. Dans cette question, on suppose que∀n∈N , u = cos(a/2 ), ou` a∈R\πZ est un r´eeln ﬁx´e. 1 n n n−1a. Soitn∈N ,remarquonstoutd’abordquesin(a/2 )×cos(a/2 ) = sin(a/2 .Montrons 2 par r´ecurrence sur n∈N que 1n∀n∈N, sin(a/2 )×p = sinan n2 1 Initialisation : pour n = 1, sin(a/2)cos(a/2) = sin(a). 2 1n H´er´edit´e : soit n∈N tel que sin(a/2 )p = sina.n n2 1 n+1 n+1 n+1 nsin(a/2 ) p = sin(a/2 )×cos(a/2 )×p = sin(a/2 )×pn+1 n n 2 1 1 1 = × sina = sina. n n+12 2 2 Conclusion : la formule est vraie pour n = 1, elle est h´er´editaire `a partir du rang 1. Par le principe de r´ecurrence, elle est donc vraie pour tout entier nature non nul.N 1 ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ℓ⋆ℓ⋆ℓ⋆ℓℓ sina 1 a b.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Mathématiques

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Publié par	correction-devoir-mpsi
Nombre de lectures	73
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

samedi9fe´vrier2013

´ ´
CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚05

`
PROBLEME 1
Soit (un)n∈N⋆lensnountideree´associells,onluiiusa(etusenupn)n∈N⋆:´dnieﬁarep
n
∀n∈N⋆ pn=Yuk=u1× ∙ ∙ ∙ ×un
k=1
Partie2.Uneconditionne´cessairedeconvergence
On suppose que le suite (pn)n∈N⋆est convergente vers une limite non nulleℓ∈R⋆. En ce
cas, la suite extraite (pn−1)n≥2est aussi convergente de limiteℓ. Commeℓteenidtsre´ﬀe
de0,ils’ensuitparope´rationsalg´ebriquesqueun=pnest convergente de limite 1 =ℓ
pn−1ℓ.
N
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un==1+1n .+ 1
n n
Soitn∈N⋆le´ertpae,agopscano,

pn=Ynuk=Ynk+ 1 1
=
kn+
k=1k=1

Ils’ensuitimme´diatementque(pn) est divergente vers +∞.N
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un= cos(a2nuo`),a∈RπZunste´reel
ﬁxe´.
Soitn∈N⋆, remarquons tout d’abord que sin(a2n)×cos(a2n(in2s)=1a2n−1. Montrons
parre´currencesurn∈N⋆que



∀n∈N

sin(a2n)×pn12=nsina

1
si
Initialisation :pourn= 1, sin(a2) cos(a2) = 2 n(a).
H´ere´dite´:soitn∈N⋆tel que sin(a2n)p1
sina.
n=2n

sin(a2n+1)p
n+1

= sin(a2n+1)×cos(a2n+1)×pn(=1in2sa2n)×pn
1 1 1
=2×2nsina=2n+1sina

Conclusion :la formule est vraie pourn=,1leelitedreaithesr´´earud.1gnapa`ritr
Parleprincipedere´currence,elleestdoncvraiepourtoutentiernaturenonnul.N

Soitn∈N⋆sealpa`ritnouqse,d’edc´´epr,teenpn2nis=na×sin(a12nP)sonosaεAl
n=2nors
par changement de variable,
n→+∞!⇒sin(a2n)∼+
•εn−−−−→0a
•sinε∼0εn→ ∞2n

P´t,parcompatibilite´des´equivalentsavecleproduit:
ar consequen
sina2nsina
pn∼2na∼a
Autrement dit, (pn) est convergente de limite siana.N
Partie3.Utilisationd’unepremi`eresuiteauxiliaire
1.Soit (un)n∈N⋆nulleeonecuiesr´teedilimetevgrneet1.
a.Posonsε= 12. Comme (un) est convergente de limite 1, il existe un rangn0∈N⋆tel
que∀n∈N,n≥n0⇒ |un−1| ≤2.1
Soitn≥n0. Alors 1−un<,rpaEn2.1ieulicrtunest strictement positif.N
Remarque :ati-ocpmtnalqoauinvn`tneqalatseuenoionepecdrreoremctovsuopvuze´r
bilit´e,limiteetineg¸e:
´alite´delafaconsuivant
comme (un) est convergente de limiteℓ, avecℓ= 1>mpcoibatstxiarep0eli,li´eitiltemi
etine´galit´eunrangn0tel que

∀n∈N n≥n0⇒un>0
n
b.outpourtntterieﬁeinnO´dn∈N,n≥n0,Sn=Xlnuk.
k=n0
¯
Supposons que (Sn) admette une limiteℓ∈R.
D’apr`eslesita´treracalecaelleenti´equionsedemr`eoh´tetaledimilpour la fonction
exponentielle,ilenr´esultequelasuiteeSnn≥n0admet pour limiteLu,`o
L=eℓ, siℓ∈R
L= 0 siℓ=−∞
L= +∞siℓ= +∞.N
n
Or, pour tout entier natureln≥n0,eSn=Yn0uk=pnp0n1rbqieussrue´glasnoitare´poar,p
−
k=
dessuitesposs´edantdeslimites,ils’ensuitque(pn) est convergente de limitepn0−1×L.N
2. Application :
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆,un=n√n.
lnx
a.Soitk∈N k≥3. Introduisons la fonctionϕ:R+⋆→R´dﬁearepniϕ(x) =ϕest
.
x
de´rivablesurR+⋆tienequocommtcoifsnoleeldttetesn´delmonetanirneu’aesulnnasep
et
∀x∈R+⋆ ϕ′(x) = lnxx2−1

Encons´equence,ϕ´dtseassiorce[uresnte+∞[. En particulier,

∀x∈[k k+ 1] ϕ(x)≤ϕ(k ln) =kk
Parcroissancedel’inte´grale,ils’ensuitque
Zkk+1lnxxdx≤lnkk

N
b.Soitn∈N⋆,Sn=X
nlnuk=Xnlnkk.
k=1k=1
Or,d’apreslaquestionpr´ece´dente,pourtoutentierk∈[1 n]],
`
k+1ln
lnkk≥Zkxdxx
Ensommantterme`atermecesine´galit´es,j’obtiensunenouvelleminorationdeSn:
Sn≥X
nZkk+1lnxdxx=Z1n+1lnxdxx
k=1
Laderni`ere´egalite´provenantdelarelationdeChaslesappliqu´eenfois.
On+1lnx
rZ1xdx=n(l12x)21n+1nl=2(n.2)1+
Finalement, nous avons obtenu pourSnla minoration suivante :
n+ 1)
Sn≥ln22(n→+∞
−−−−→+∞
Lethe´or`emededivergenceparcomparaisonpermetalorsdeconclurea`ladivergencede
(Sn) vers +∞e(D’.apr`eslaquestion,1line´dceuoeluqpn) est divergente vers +∞.N
Partie 2. Utilisation d’une autre suite auxiliaire
1.On suppose que∀n∈N⋆,un= 1 +vno,(u`vn)n∈N⋆eredel´enetuitsusesstrictement
n
positifsetconvergentede limite 0. On note pour tout entiern∈N⋆,Tn=Xvk
k=1
a.Introduisons la fonctionψ:R+→Rpeinraeﬁd´∀x∈R+,ψ(x) = ln(1 +x)−x.ψest
de´rivablesurR+comme somme de telles fonctions et pour toutx≥0,ψ′(x.1=11+)
−
x
Il s’ensuit queψemtncietstrtseesursantroisd´ec0[+∞. Commeψ(0) = 0, la fonctionψ
eststrictementne´gativesurR+⋆. En d’autres termes,

∀x >0ln(1 +x)< x

Remarque :exit´e:npeuositrtauspruliaetdimerspateettcenontiesquedia’la`vnocaled
la fonction ln est concave surR+⋆edsuossed-uae´u.paEnicrtieulnosrpargseehtist
sestangentes.L’´equationdelatangenteaupoint1,esty=t−t,ensnocuqe´1raP.
∀t∈R+⋆lnt≤t−tanosultatenprsler´esorvuaeol1O.rntet= 1 +x.N

Supposons que la suite (Tnes)ajtmroe´.enEecac,sliexisteM∈R+⋆tel que



∀n∈N⋆

Tn≤M

Montrons que (Tn) est convergente.
Soitn∈N⋆,Tn+1−Tn=vn+1. Comme la suite (vn) est strictement positive (par
hypothe`se),ilenr´esulteque(Tn) est croissante.
Ainsi, (Tn’a.D`eprjomaeer´nassteettse)iorclseneontoitemalimdele`rme´hoet
elle est donc convergente.
Montrons que (Sn) est convergente.
Comme ci-dessus, la suite (Sn) est croissante puisque pour tout entiern∈N⋆,
Sn+1−Sn= ln(1 +vn+1)>lle’uqsnojamtseerontMo0.lecrtu,aee´ruoP.isilson
l’in´egalite´e´tabliea`laquestion1.a
Soitn∈N⋆tioS.e´xﬁk∈[1 ntivne,ali1.esr`apD’].]

ln(1 +vk)< vk

Sommonsterme`atermecesin´egalit´es,ilenre´sulteque

n n
Sn=Xln(1 +vk)≤Xvk=Tn
k=1k=1

(Tnet)´orajtmanrapee´M, il s’ensuit queSn≤M.

Ceci´etantvraipourtotentiern∈N⋆e(´equrouvonspsuva,onSnee´rojamtse)
parMleli´dceuosiastn,erotcesleelmeom.Conce againduth´elaletimi`roedeme
monotoneque (Sn) converge.
Enﬁn, comme la suite (Snc)ledstatlae,rgveonsu´esrlePartie IIs’appliquent : la
suite (pn) est donc convergente.N
Application :
n
Dans cette question, on suppose que∀n∈N⋆ pn=Y 1 +a2ko,`ua∈]0ﬁx´e[est.1
k=1
Remarquons qu’ici,un= 1 +a2k, aveca >(teocsne´uq0P.raquelasuient,pourpn)n∈N⋆
soitconvergente,ilsuﬃt,d’apr`eslaquestionpr´ece´dentequelasuite(Tnoi)sjamte´ro:e
n
Soitn∈N⋆ﬁx´e.Pard´eﬁniitnoTn=Xa2k=a2+a4+a8+∙ ∙ ∙+a2n.Tnressmble
k=1
donc`alasommedestermesd’unesuitege´om´etrique,maisilmanquedespuissnacesde
a.Quelan’`acnn,eteeirsjaneelosuonetbatuon,tnatorn:ioslonajam

2n−a2n+11
Tn≤Xak=a+a2+a3+a4+∙ ∙ ∙+a2n=11−a≤1−a
k=1

Ainsi, (Tnra1e´peorajtmes)

1.D’apr`eslaquestionpr´ec´edente(pn) est convergente.N
−a

Montronsparr´ecurrencesurn∈N⋆que∀n∈N⋆(1−a2)pn= 1−a2n+1
•Initialisation :pourn= 1, (1−a2)p1= (1−a2)(1 +a2) = 1−a22
•e:t´di´eerH´soitn∈N⋆tel que (1−a2)pn= 1−a2n+1. Alors

(1−a2)×pn+1= (1−a2)×pn×(1 +a2n+1)