◦N d’ordre : 8503 UNIVERSITÉ PARIS XI THÈSE présentée pour obtenir LE TITRE DE DOCTEUR EN SCIENCES Spécialité Mathématique par Mélanie Zetlaoui Aspects statistiques de la stabilité en dynamique des populations : application au modèle de Usher en foresterie. Soutenue le 7 décembre 2006 devant la commission d’examen : M. Avner Bar-Hen Directeur de thèse M. Patrice Bertail Rapporteur M Alain Franc Examinateur Mme. Elisabeth Gassiat Présidente du jury M. Nicolas Picard Co-directeur de thèse M. Jérôme Saracco RapporteuriiRemerciements Mes premiers remerciements vont tout droit à mes directeurs de thèse. Avner Bar-Hen m’a dirigée et soutenue tout au long de ma thèse. Ses conseils m’ont été d’une aide précieuse dans l’aboutissement de mon travail. Nicolas Picard, par les discussions que j’ai eues avec lui et par ses remarques tou- jours très précises, m’a permis d’approfondir ma réflexion sur mon travail de recherche. Sa grande disponibilité et son attention ajoute à ses qualités de chercheur. Je tiens à remercier également tous les membres du Jury. Merci à Patrice Bertail et Jérôme Saracco, pour avoir accepté d’éplucher ce mémoire et pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail. Leurs remarques et les discussions qu’elles ont amenées m’ont été particulièrement enrichissantes. Merci aussi, pour avoir accepté d’évaluer ce travail, à Alain Franc et à Elisabeth Gassiat, que je remercie tout particulièrement pour avoir suivi mes travaux tout au long de ma thèse et pour son ...
◦N d’ordre : 8503
UNIVERSITÉ PARIS XI
THÈSE
présentée pour obtenir
LE TITRE DE DOCTEUR EN SCIENCES
Spécialité Mathématique
par
Mélanie Zetlaoui
Aspects statistiques de la stabilité
en dynamique des populations :
application au modèle de Usher en foresterie.
Soutenue le 7 décembre 2006 devant la commission d’examen :
M. Avner Bar-Hen Directeur de thèse
M. Patrice Bertail Rapporteur
M Alain Franc Examinateur
Mme. Elisabeth Gassiat Présidente du jury
M. Nicolas Picard Co-directeur de thèse
M. Jérôme Saracco RapporteuriiRemerciements
Mes premiers remerciements vont tout droit à mes directeurs de thèse.
Avner Bar-Hen m’a dirigée et soutenue tout au long de ma thèse. Ses conseils
m’ont été d’une aide précieuse dans l’aboutissement de mon travail. Nicolas
Picard, par les discussions que j’ai eues avec lui et par ses remarques tou-
jours très précises, m’a permis d’approfondir ma réflexion sur mon travail de
recherche. Sa grande disponibilité et son attention ajoute à ses qualités de
chercheur.
Je tiens à remercier également tous les membres du Jury. Merci à Patrice
Bertail et Jérôme Saracco, pour avoir accepté d’éplucher ce mémoire et pour
l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail. Leurs remarques et les discussions
qu’elles ont amenées m’ont été particulièrement enrichissantes. Merci aussi,
pour avoir accepté d’évaluer ce travail, à Alain Franc et à Elisabeth Gassiat,
que je remercie tout particulièrement pour avoir suivi mes travaux tout au
long de ma thèse et pour son soutien.
Grand merci aux chercheurs du laboratoire OMIP de l’INAPG pour
m’avoir accueillie, et tout particulièrement à Jean-Jacques Daudin ainsi qu’à
Etienne Klein pour avoir suivi mon travail lors de mes comités de thèse et
dont les remarques pertinentes m’ont été précieuses.
Ce travail de thèse s’est faite en collaboration avec le CIRAD-Forêt, d’où
est parti mon sujet de thèse. Merci en particulier à Sylvie Gourlet-Fleury
pour m’avoir fait partager son expérience sur les questions forestières, et à
ceux qui ont rendus mes séjours dans ce laboratoire agréables, en particulier
Frédéric, Jean-Marc et Phillippe.
Durant ma thèse, j’ai été rattachée, en tant qu’ATER, au laboratoire de
Mathémathiques de Paris XIII dans un premier temps. Je tiens à remer-
cier tout particulièrement Francesco Russo pour ses encouragements dans
mon travail de recherche. J’ai ensuite poursuivi mon service au laboratoire
de Mathématiques d’Evry-Val d’Essonne. Je remercie Monique Jeanblanc
et Bernard Prum pour leur accueil, et tous ceux avec qui j’ai eu le plaisir
d’enseigner.
Dans la dernière année de ma thèse, j’ai côtoyé les membres de l’unité
iiiiv
Mét@risk de l’INRA. Merci à eux pour les bons moments passés ensemble,
et particulièrement à Stéphan Clémençon pour s’être intéressé à mon travail
et m’avoir fait partagé son expérience de la recherche et ses connaissances.
Merci aussi aux thésards d’Orsay du bâtiment 430 et particulièrement à
mes amis, Cristian, Ana, Sophie, Nati, Hector, et Jean-Maxime.
Jeremercieenfintousmesamis,etparticulièrementBorispoursonécoute
et ses conseils rassurants, Clem pour sa bonne humeur, ma Coco que je
retrouve toujours, malgré de longues séparations, comme si c’était hier, et
Fred pour son affection.
Ma pensée va enfin à mes parents pour leur soutien, leurs encourage-
ments et leur confiance de toujours, et à ma Nono pour ce qu’elle est tout
simplement.1
Résumé
Les modèles matriciels sont souvent utilisés pour prédire l’évolution en
tempsdiscretd’unepopulationstructuréeparâgeoupartaille.Lemodèlede
Usherestunmodèlematricielquidécritl’évolutiondesindividussuivantleur
tailleetrestreintlestransitionsentrelesclassesd’état.Ilestparticulièrement
adapté pour décrire la dynamique d’un peuplement forestier et sert de guide
dans la gestion des forêts. Cette étude porte sur les prédictions dans l’état
stationnaire du modèle. L’objectif principal est la construction d’intervalles
de confiance de ces prédictions.
Le premier chapitre fait un état de l’art sur le modèle de Usher et pose
la problématique de la thèse.
Ledeuxièmechapitreestconsacréàlaconstructiond’intervallesdeconfiance
des prédictions. Pour cela la distribution asymptotique des estimateurs du
maximum de vraisemblance des prédictions est obtenue grâce à la delta-
méthode. Des simulations permettent de vérifier la validité des résultats
asymptotiques pour différentes tailles d’échantillon.
Dansletroisièmechapitre,lesintervallesdeconfianceasymptotiquessont
affinés en cherchant des estimateurs robustes des paramètres du modèle.
Cette recherche est guidée par deux types de contraintes du modèle por-
tant sur sa structure discrète et sur la dynamique de la population. Les
estimateurs des paramètres ainsi construits sont desL-estimateurs exprimés
dansunmodèlestatistiquemultidimensionnel.Lecritèrederobustesseutilisé
est la sensibilité des estimateurs, basé sur la notion de fonction d’influence.
L’utilisation de la fonction d’influence permet de plus de déterminer le com-
portement asymptotique des estimateurs et d’en déduire des intervalles de
confiance.
Le quatrième chapitre étend les résultats du deuxième chapitre au cas
du modèle densité-dépendant, dans lequel les paramètres sont fonctions des
caractéristiquescourantesdelapopulation.L’existenceetl’unicitéduvecteur
de distribution stationnaire sont au préalable vérifiées.
Les résultats théoriques sont appliqués un jeu de données réelles d’un
peuplement forestier en Guyane Française et les implications pratiques sont
discutées.
MOTS-CLÉS:modèledepopulation,modèlematriciel,statistiqueasymp-
totique,robustesse,fonctiond’influence,sensibilité,L-estimateurs,dynamique
forestière.2
Abstract
Matrix models are often used to describe the discrete-time evolution of
a age-structured or size-structured population. The Usher model is a ma-
trix model describing a size-structured population that is characterised by
a restriction on the transitions between the state classes. It is well adapted
to describe the dynamic of a forest stand and is used to deal with forest
management. This study turns on predictions in the stationary state of the
model. The main object is the construction of confidence intervals of these
predictions.
The first chapter gives an overview on the Usher model and lines out the
problematic of the thesis.
The second chapter addresses the construction of asymptotic confidence
intervals of predictions. Therefore, the asymptotic distribution of the maxi-
mum likelihood estimator of predictions is obtained by the delta method.
Simulations allow to verify the validity of asymptotic results for different
sample sizes.
In the third chapter, the confidence intervals are refined by searching
robust estimators of model parameters. The construction of these estima-
tors respects the model constraints concerning its discrete structure and the
dynamic of the population. The parameters estimates are L-estimators ex-
pressed in a multidimensional statistical model. The robustness criteria used
is the estimator’s sensibility based on the influence function. The asymptotic
behaviour of the estimators is moreover determined by using the influence
function and hence confidence intervals are derived.
A fourth chapter extends the results of the second chapter to the more
generaldensity-dependantUshermodel,wheretheparametersdependonthe
varying characteristics of the population during time.
The theoretical results are applied on a real data set of a forest stand in
French Guyana and the practical implications are discuss.
KEY WORDS : population model, matrix model, asymptotic statistics,
robustness, influence function, sensibility, L-estimators, forest dynamic.
AMS-Classification : 62F10, 62E20, 62F35, 62P12.Table des matières
Introduction 5
1 État de l’art 15
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Définition du modèle de Usher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1 Modèle de Usher linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Modèle de Usher densité-dépendant . . . . . . . . . . . 18
1.2 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Propriétés du modèle de Usher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 LienentrelemodèledéterministeetleschaînesdeMar-
kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Lien entre le modèle matriciel et les équations aux dé-
rivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3 Comportement asymptotique du modèle . . . . . . . . 25
1.4 Différents estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Estimateurs dans le modèle de Usher linéaire . . . . . . 28
1.4.2 Estimateurs dans le modèle de Usher densité-dépendant 31
2 Loi asymptotique des estimateurs des prédictions 33
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Loi asymptotique des prédictions . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . . . . . . 34
2.1.2 Comportementasymptotiquedesestimateursdumaxi-
mum de vraisemblance de λ et w . . . . . . . . . . . 361 1
2.2 Simulations et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Comparaisondelavariabilitédémographiqueetd’échan-
tillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
34 TABLE DES MATIÈRES
3 Robustesse des taux de transition 43
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Etude générale de la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Estimateurs robustes asymptotiquement efficaces . . . 46
3.1.2 Fonction d’influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 L-estimateurs : cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . 49
3.1.4 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Robustesse dans le modèle de Usher . . . . . . . . . . . . . . . 57