Numero d’ordre : 545 Année 1997 THESE présentée à L’Université de Bretagne Occidentale pour l’obtention du DOCTORAT EN ELECTRONIQUE par Stéphane AZOU Réalisation équilibrée de systèmes par orthogonalisation de fonctions d’entrée - Grammiens et approximation soutenue le 19 Décembre 1997 devant la Comission d’Examen composée de : Président J. P. NOUGIER Professeur Université de Montpellier II Rapporteurs R. CARIN Professeur Université de Caen J. P. RICHARD Professeur Ecole Centrale de Lille Examinateurs G.BUREL Professeur UniversitédeBretagneOccidentale L. C. CALVEZ Professeur Université de Bretagne Occidentale G. FROMONT Maître de Conférences CNAM Paris P.VILBE Professeur UniversitédeBretagneOccidentale Directeur de thèse:P.VILBE ◦Recherches effectuées au LEST-UMR CNRS N 6616 Université de Bretagne Occidentale Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne3 Remerciements La présente étude a été e ffectuée au Laboratoire d’Electronique et Systèmes de Télécommunications ◦(LEST),UnitéMixtedeRechercheCNRSN 6616,del’UniversitédeBretagneOccidentaleàBrest. J”exprimemaprofondereconnaisanceàMonsieurP.VILBE,directeurdethèse,pourlesoutien actif et les nombreux conseils prodigués qui ont permis la réalisation de ce travail. Je remercie Monsieur L. C. CALVEZ, responsable de formation doctorale, pour les nombreuses dis- cussions et les remarques avisées qui ont largement contribué au bon déroulement de cette étude. J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur J. P. NOUGIER ...
Numero d’ordre : 545 Année 1997
THESE
présentée à
L’Université de Bretagne Occidentale
pour l’obtention du
DOCTORAT EN ELECTRONIQUE
par
Stéphane AZOU
Réalisation équilibrée de systèmes par orthogonalisation
de fonctions d’entrée - Grammiens et approximation
soutenue le 19 Décembre 1997 devant la Comission d’Examen composée de :
Président
J. P. NOUGIER Professeur Université de Montpellier II
Rapporteurs
R. CARIN Professeur Université de Caen
J. P. RICHARD Professeur Ecole Centrale de Lille
Examinateurs
G.BUREL Professeur UniversitédeBretagneOccidentale
L. C. CALVEZ Professeur Université de Bretagne Occidentale
G. FROMONT Maître de Conférences CNAM Paris
P.VILBE Professeur UniversitédeBretagneOccidentale
Directeur de thèse:P.VILBE
◦Recherches effectuées au LEST-UMR CNRS N 6616
Université de Bretagne Occidentale
Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne3
Remerciements
La présente étude a été e ffectuée au Laboratoire d’Electronique et Systèmes de Télécommunications
◦(LEST),UnitéMixtedeRechercheCNRSN 6616,del’UniversitédeBretagneOccidentaleàBrest.
J”exprimemaprofondereconnaisanceàMonsieurP.VILBE,directeurdethèse,pourlesoutien
actif et les nombreux conseils prodigués qui ont permis la réalisation de ce travail.
Je remercie Monsieur L. C. CALVEZ, responsable de formation doctorale, pour les nombreuses dis-
cussions et les remarques avisées qui ont largement contribué au bon déroulement de cette étude.
J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur J. P. NOUGIER, Professeur à l’Université de Montpel-
lier II, qui m’a fait l’honneur de bien vouloir présider la commission d’examen.
Je suis très reconnaissant à Messieurs les Professeurs R. CARIN, de l’Université de CAEN, et J. P.
RICHARD, de l’Ecole Centrale de Lille, d’avoir accepté d’examiner ce travail.
Je remercie vivement Messieurs G. BUREL, Professeur à l’UBO, et G. FROMONT, Maître de Con-
férences au CNAM Paris, pour avoir accepté de faire partie du jury.
Enfin, j’associe à ces remerciements l’ensemble des membres du LEST, enseignants-chercheurs, in-
génieurs, secrétaires, techniciens ou thésards, qui se sont intéressés à mon travail et qui m’ont permis
de travailler dans la bonne humeur.Sommaire
Remerciements 3
Introduction 0
1Contexteetprésentation.......................3
1.1 Généralités............................3
1.2 Réalisation équilibrée .......................5
1.2.1 Définition-Interprétation géométrique..............5
1.2.2 Algorithmes de Moore et Laub ................8
1.2.3 Commentaires sur d’autres Algorithmes.............9
1.3 Présentation du travail...................... 10
2 Réalisation équilibrée de systèmes SISO par orthogonalisation de
fonctions d’entrée ......................... 13
2.1 Fonctions d’Entrée/Sortie .................... 14
2.1.1 Définitions, Propriétés générales ............... 14
2.1.2 Représentation par fonctions d’entrée dans le domaine de Laplace
ouZ........................... 16
2.2 Orthogonalisation des fonctions d’entrée par les tableaux de
Routh/Aström ......................... 22
2.3 Application au calcul de réalisations équilibrées ........... 28
2.4 Exemples ........................... 29
2.4.1 Filtres de Butterworth ................... 29
2.4.2 Système de Lin et Han ................... 32
2.5 Performances .......................... 33
2.5.1 Matrices de Bézout .................... 33
2.5.2 Tableaux de Routh/Aström................. 34
2.5.3 Blocs-décompositions des fractions rationelles ......... 34
2.5.4 Inversion de la matrice d’orthonormalisation.......... 35
2.5.5 Décomposition en valeurs/vecteurs propres deW ....... 35o ⊥
2.5.6 Conclusions........................ 35i
3 Extension de notre méthode pour la réalisation équilibrée de
systèmes MIMO .......................... 37
3.1 Réalisation équilibrée de systèmes MIMO à l’aide de fonctions d’entrée
orthogonalisées ......................... 37
3.1.1 Expression d’une fonction d’entrée initiale et orthogonalisation.. 38
3.1.2 Réalisation équilibrée ................... 39
3.2 Performances .............. 40
3.3 Exemple .................... 40
4 Réduction de modèles via la base d’équilibre.... 43
4.1 Troncature directe d’une réalisation équilibrée ............ 43
4.1.1 Détermination du modèle réduit ....... 43
4.1.2 Caractéristiques du modèle réduit .............. 44
4.1.3 Exemple ................. 46
4.2 Techniques dérivées ............... 48
4.2.1 Troncature suivant les gains équilibrés.... 48
4.2.2 Perturbations singulières et base d’équilibre .......... 51
4.2.3 Système réciproque de Sreeram ........... 56
4.3 Miseenoeuvredecontrainteslinéairesdetypeégalité ........ 57
4.3.1 Contraintes dans le domaine temporel ........ 59
4.3.2 Contraintes dans le domaine fréquentiel........ 61
4.3.3 Exemples..................... 62
5 Réduction de modèles à l’aide de Grammiens de réponse
impulsionnelle ........................... 65
5.1 Travaux antérieurs ....... 66
5.1.1 Techniques de Sreeram et al. ................ 66
5.1.2 TechniquedeKrajewskietal..... 72
5.2 Définition de Grammiens de réponse impulsionnelle généralisés (GIRG) . 75
5.2.1 Cas discret ........................ 76
5.2.2 Cas continu.... 80
5.3 Application des GIRG ...................... 83
5.3.1 Réduction de modèles par approximation de critères de
performance généralisés .................. 83
5.3.2 Réduction de modèles discrets par approximation d’énergies de
réponseimpulsionnelleetconservationdemomentstemporels
et/ou de paramètres de Markov ............... 85ii
6 Exemples de réduction de modèles à l’aide des méthodes proposées . 87
6.1 Réduction de modèles continus .................. 87
6.1.1 Modélisation du système de Krajewski et al....... 87
6.1.2 Modélisation d’un arbre RC................. 89
6.1.3 Modélisation d’un circuit RC distribué.... 91
6.1.4 Modélisation d’un circuit RLC ............... 92
6.1.5 Modélisation d’un amplificateur opérationnel ..... 94
6.2 Réduction de modèles discrets................... 96
6.2.1 Modélisation du système de Hwang et Hsieh...... 96
6.2.2 Modélisation d’un réacteur de jet supersonique......... 97
6.2.3 Modélisation d’un filtre de Butterworth passe-bas ... 99
Conclusion 103
Références 105
Liste de publications 117
A Quelques résultats d’algèbre linéaire 119
B Polynômes premiers entre-eux 123
C Tableaux de Routh 127
D Tableaux d’Aström 129
E Techniques sub-optimales développées au Laboratoire 131
Index 133Liste des symboles
N Ensemble des entiers naturels
R Ensemble des réels
C Ensemble des complexes
Re(×) Partie réelle de ×
Im(×) Partie imaginaire de ×
+ +t,k Variables temporelles continue, discrète (t ∈R , k ∈N )
∗ Produit de convolution
= Transformation de Laplace
a Tr en Z
s,z Variables de Laplace, z
q Variable de Laplace ou z
h(×),H(×) Réponses impulsionnelles ou fonctions de transfert SISO, MIMO
−1ω , θ Pulsations continue, discrète (rad.s , rad)
p,m Nombre d’entrées, Nombre de sorties du système
u,y Signaux d’entrée, de sortie
x Vecteur d’état
ef Approximation du signal f
δ Delta de Kroneckeri,j
α , β Coe fficients des tableaux de Routh ou d’Aströmi i
quot(×,×) Quotient d’une division polynômiale
×mod× Reste d’une division polynômiale
deg(×) Degré du polynôme ×
h×,×i Produit scalaire
|×| Module du nombre complexe ×
k×k Normes matricielles (p=1, 2, ∞)p∗ Conjugué
T Transposé
$ Transposé-Conjugué
⊗ Produit de Kronecker
det(×) Déterminant de la matrice ×
tr(×) Tracedelamatrice×
diag(×,...,×) Matrice diagonale, formée par les éléments ×
I Matrice identité (dimension ×)×
eme`λ (×) i valeur propre de la matrice ×i
eme`σ (×) i mode du second-ordre ou valeur singulière de la matrice ×i
C Matrice d’orthogonalisation
(A,B,C,D) Réalisation dans l’espace d’état
L(t),M(t) Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine temporel continu
L[k],M[k] Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine temporel discret
L(q),M(q) Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine de Lapace, Z
W ,W,W Grammiens de commandabilité, d’observabilité, croiséc o co
C , O Matrices de commandabilité, d’observabilité
(A ,B,C) Réalisation équilibréeb b b
(A ,B ,C ) normée par rapport à l’entrée⊥ ⊥ ⊥
Σ Grammiens dans la base d’équilibreListe des abbréviations
APS Approximation par les Perturbations Singulières
COVER COVariance Equivalent Realization
EIRG Extended Impulse Response Grammian
FLOP Floating Point Operation
GIRG Generalized Impulse Response Grammian
IRG Impulse Response Grammian
MIMO Multiple Input Multiple Output
PPCM Plus Petit Commun Multiple
RIF Réponse Impulsionnelle Finie
RII Réponse Impulsionnelle Infinie
SISO Single Input Single Output
TD Troncature Directe
TGE Troncature suivant les Gains Equilibrés
TSR Troncature du Système Réciproque
WIRG Weighted Impulse Response GrammianIntroduction
Les outils de plus en plus performants mis à la disposition de l’ingénieur désirant modéliser un proces-
sus physique complexe conduisent bien souvent à un modèle de grande dimension. L’usage direct de
celui-ci peut nécessiter un volume de calculs important ou engendrer des di fficultés numériques. Pour ces
raisons, il est auparavant souhaitable d’essayer de réduire l’ordre du modèle, tout en reproduisant très
précisément son comportement original.
Depuis plus d’une vingtaine d’années, de nombreuses méthodes sont apparues pour accomplir cette
tâche. Lechoixdel’uned’entreellessefaitenfonctiondeladescriptiondumodèleoriginal(représentation
dansl’espace d’états, fonction de transfert, pôles/résidus,...), de sa nature (linéaire ou non-linéaire, stable
ou instable, temps continu ou temps discret,...) et de la précision souhaitée (solution optimale ou non).
L’apparition des réalisations équilibrées (Mullis et Roberts 1976, Moore 1981) pour les systèmes
linéaires invariants et asymptotiquement stables a marqué une avancée considérable dans ce domaine.
Dans la base d’équilibre, il est possible d’opérer la réduction d’un modèle par simple élimination des
variablesd’étatcorrespondantàdefaiblesdegrésdecommandabilitéetd’observabilité(modesdusecond-
ordre).
Bien que cette notion trouve son origine dans le domaine de la syn