Devoir Libre n015 PSI

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Devoir Libre n015 PSI MATHEMATIQUES (trendrele09Mars2012) Problème1 Dan~'les deuxquestionssuivantes,l'espace E estmuniduproduit scalaire (P 1Q) =1:P(t)Q(t)dt Lanormeassociées ranotéeIl,11. 5. D(lnscettequestion,onconsidèreunpolynômejixéPo E E, Po f/:.Iœr(L), etlespolynômes Q~de laforme Q~=Po- >.X,où >.parcoUTtR. Déterminer 1 a =inf(1 Ql(t)dt)~ER -1 en fonctionde IIPoli etde (Po 1X). 6. Dans cettequestion, >.E JR. On considèrel 'applicationg~,étudiéedans la question3, avec Po= 1.g~estdoncdéjinieparVP E E,g~(P) =P+ >'L(P). Lorsquecelle-ciexiste,onr(lppellela déjinitiondela normesubordonnéedel'(lpplication liné(lireg~: Onfixeunentiern E N'et l'ondésignepar E l'espacevectorieldespolynômesà coefficients réelsdedegréinférieuroùég(llà n. OnconsidèrelaformelinéaireL sur E déjiniepar: VP E E,L(P) =[l P(x)dx Onnotera8 =(1,X,X2, ..,Xn) la basecanoniquede E. Lesquestionssontdansunelargemesureindépendantes. n 1. (a) Déterminerl'imageparL dupoJyn~meP telqueP =L apXP. p=O (b) Déterminerla dimensiondu noyaudeL, puis unebase8' decenoyau.