Sujets Mathématiques BTS 2010

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Sujets BTS en Mathématiques (2011) pour BTS Comptabilité Gestion Organisation

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Brevet de technicien supérieur session 2010 Comptabilité et gestion des organisations Nouvelle–Calédonie Exercice 1 10 points A. Étude d’une fonction 0,02x#0,28 e Soitf; 100la fonction définie sur[1] par1. f(x) x Onnote C la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère orthogonal (O;i;j!. On prend comme unités graphiques 1 cm pour 10 sur l’axe des abscisses et 1 cm pour0,1 sur l’axe des ordonnées. 1. On désigne parf' lafonction dérivée de la fonctionf. 0,02x#0,28 e(0, 02x%1! [1 ; 100] a.Montrer que, pour toutxde :f'(x)1. 2 x b.Étudier le signe def0(x] .; 100) sur l’intervalle [1 2. Établir le tableau de variations defsur [1] .; 100 Oncomplètera ce tableau avec des valeurs exactes. 3. Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs %2 approchéessont à arrondir à. 10 x 1 510 20 5080 100 f(x) 1,350,07

4. Construire la courbe C sur une feuille de papier millimétré. 5. Résoudre graphiquement dans][1 ; 100l’inéquationf(x)60,3. Onfera apparaître sur la figure les constructions utiles. B. Calcul intégral 0,02x#0,28 g Soitla fonction définie sur[1 ; 100]parg(x)110e 100 OnnoteI1f(x)dx0 ò 1 2,28 0,3 I500 1. Démontrer que1(e%e!. 2. En déduire la valeur approchée arrondie à 10−2 de la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle[1 ; 100] . C. Application des parties A et B Uneentreprise fabrique et vend chaque jour un certain type d’articles. Lecoût de production, en euros, d’un article en fonction du nombrexde dizaines d’articles fabriqués estf(x), oùfest la fonction définie au début de la partieA. 1. Déduire de la partieAle nombre d’articles que l’entreprise doit fabriquer pour que le coût unitaire deproduction soit inférieur ou égal à 30 centimes d’euros. 2. a.Justifier que le nombreg(x) défini dans la partie B représente le coût total de production de x dizainesd’articles fabriqués par l’entreprise. b.Donner à l’aide d’une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu à la question2. de la partieB. Exercice 2 10 points Les trois parties de cet exercice sont indépendantes Unechaîne de magasins de bricolage commercialise deux types de ponceuses : des ponceuses «elliptiques » et des ponceuses « à bande ». Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2 A. Loi binomiale On noteDl’évènement : «Une ponceuse elliptique prélevée au hasard dans un stock important de la chaîne est défectueuse ». On suppose queP(D) = 0,08. On prélève au hasard 25 ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses.

Onconsidère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueusesde ce prélèvement. 1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses. 3.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse. 4. a.Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX. b.La réparation d’une ponceuse défectueuse coûte 30 euros. Quelle est, pour un lot de 25 ponceuses elliptiques,le montant moyen des réparations des ponceuses elliptiques défectueuses ? B. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale OnnoteRl’évènement : «Une ponceuse à bande prélevée au hasard dans un lot important provenant dufabricant nécessite un réglage avant sa commercialisation ». Onsuppose queP(R) = 0,45. Onprélève au hasard un lot de 50 ponceuses à bande pour vérification. Le lot est assez important pour quel’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 ponceuses. Onconsidère la variable aléatoireYqui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses àbandes de ce prélèvement nécessitant un réglage.On admet que la variable aléatoireYsuit la loi binomialede paramètres 50 et 0,45 (ce résultat n’a pas à être justifié). On décide d’approcher la loi de la variable aléatoireYpar la loi normale de moyenne 22,5 et d’écart type 3,5. On noteZune variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 22,5 et d’écart type 3,5. %1 1.Justifier le choix des paramètres de cette loi normale ( 3,5 est une valeur approchée arrondie à). 10 2.Calculer la probabilité qu’au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage c’est à dire calculer P Z³24, 5. ( ! C. Probabilités conditionnelles Lesponceuses à bande proviennent de deux fabricants, notés « fabricant 1 »et « fabricant 2 ». 50%des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage et 37%des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage. On prélève au hasard une ponceuse dans un stock important contenant 60% de ponceuses provenant du fabricant 1 et le reste du fabricant 2. On définit les évènements suivants : A: « La ponceuse provient du fabricant 1 » ; B: « La ponceuse provient du fabricant 2 » ; E: « La ponceuse nécessite un réglage ». 1.Déduire des informations figurant dans l’énoncé les probabilitésP A;P B;P EetP E. ( !( !( !( ! A B 2.CalculerP AÇEetP BÇE. En déduireP E. ( !( !( ! 3.Calculer la probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu’elle nécessite un réglage.

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Sujets Mathématiques BTS 2010

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