Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

Annales

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Nombre de lectures	35
Langue	Français

Extrait

428

Exemples de résolution d'équadifs scalaires linéaires ou non

Le tracé des courbes intégrales apporte une dimension graphique très parlante, source de questionnements nouveaux. Un candidat a montré des courbes intégrales avec un logiciel de géométrie dynamique mais sans en comprendre le sens, maitrisant mal les notions de condition initiale et de problème de Cauchy. 1) oscillateur avec second membre oscillant Liret p 454 Travail de l'élève: résoudre une EDLCC issue d'un problème de physique ; mettre en oeuvre la recherche d'une solution particulière par la méthode d'identification lorsque le second membre est donné ; comparaison avec la méthode de VDC. Place dans un séquence: application du cours. Intérêt: décloisonner les matières. Connexion avec le suivant: la situation est complètement différente lorsque on donne des conditions aux bords au lieu de conditions initiales. 2) oscillateur avec conditions aux bords Liret p 459 Travail de l'élève: résoudre une équation linéaire à coefficients constants avec conditions aux bord. Place dans une séquence d'enseignement : contre-exemple sur les théorèmes qui portent sur les équations avec conditions initiales. Intérêt: montre que les deux problèmes sont très différents. Prolongement: étudier le cas où les coefficients sont variables.

3) application de la résolution des EDLCCn à la résolution de l'équation d'Euler. LFA T4 p 88. t t Il s'agit de résoudre l'équation d'Euler sur R+*. Pose x=eet z(t)=y(e ). Montre que pour tout p, il existe une famille dea(pk)de p+1 complexes tels que : p (p)(k) x y(x)=∑k(a(pk)z (ln(x)).En déduire que z est solution d'une EDLCCn sur R puis la forme générale des solutions de l'équation d'Euler. Note P le lt polynôme caractéristique de l'EDLCC. Montre que P(lest solution de l'EDLCC. En déduire une équation équivalente à l'équation)=0 ssi t → e 3 caractéristique de l'EDLCC dont les coefficients sont ceux de l'équation d'Euler. Application : x y'''+6y=0 sur R+*. Travail de l'élève :résolution de l'équation d'Euler dans le cas général. L'indication du changement de variable permet de se ramener à une équadif linéaire à coefficients constants : la structure de l'espace vectoriel des solution est prédéterminée, ainsi que la forme générale des solutions ce qui permet, par changement de variable inverse, de résoudre l'équation d'Euler. Place dans une séquence d'enseignement: évaluation. Intérêt :résoudre un nouveau type d'équation par changement de variable et d'inconnue. 4) équation de Bessel Lehning T5 ch SE et Liret ch ED ex 4 et 3 ← DEVELOPPEMENT Travail de l'élève :résoudre une équadif de la forme ax" + bx' + cx = d dans le cas où a n'est pas continue surℝ.La dimension de l'espace vectoriel des solutions n'est pas de dimension 2 : cela dépend en particulier de l'espace de définition que l'on veut. Trouver une solution développable en série entière. Vérifier qu'une fonction définie par une intégrale est solution : IPP et dérivation sous le signe intégral. Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: la dimension de l'espace vectoriel des solutions n'est pas nécessairement égal à l'ordre de l'ed. Utilisation du Wronskien pour déterminer cette dimension. Utilisation de Xcas ou de Geogebra pour obtenir la représentation graphique d'une intégrale à paramètre.

5) illustrations du théorème de Cauchy : x'=-2tx etx '=−x, Liret et Hubbard Travail de l'élève: résoudre qualitativement des équations non linéaires ; obtenir le champs des tangentes à la main pour l'équation autonome, avec un logiciel pour l'autre. Répondre à la question « les limites sont-elles atteintes ou non ? » par la résolution exacte. Apprentissage visé :introduction à la notion d'isocline et de champs de vitesses, de solutions maximales/globales ; utiliser Xcas ; illustrer l'unicité dans le théorème de Cauchy ; interprétation : vidange d'un seau pour la seconde. Place dans une séquence d'enseignement: illustration du cours et contre-exemple. Prolongement: le comportement des solutions aux bords du domaine de définition est général. 6) cordes vibrantes Lehning analyse fonctionnelle Travail de l'élève: résoudre l'équation des cordes vibrantes dans un cas simplifié en utilisant les séries de Fourier ; comprendre qu'il faut des conditions sur les fonctions conditions initiales pour procéder ainsi ; utiliser GéoGébra pour voir les vibrations.Àquel ordre approcher une série ? Place dans une séquence d'enseignement: recherche. Indication : considère (X,-a²X'') et (T'',T). Intérêt: utiliser le théorème de dérivation terme à terme pour obtenir une CS et pas pour calculer.