Oral avec correction - Mathématiques de niveau Agrégation

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Avec correction. Fonctions - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

236 continuitéet dérivabilité des fonctions d'une variable réelle Jury : un plan I continuité II dérivabilité, n'est pas adapté. Tout est dans Rombaldi et Lehning Analyse Fonctionnelle et Escoffier et Hauchecorne. ATTENTION : les liens entre continuité et topologie sont à prendre en prérequis car la leçon ne porte que sur les fonctions d'une variable réelle. DEVELOPPEMENT : Stone-Weierstrass (probas) + Darboux (connexes) + contre-exemple à la réciproque du TVI ou ex 3.8. 1) Propriétésglobales Continuité uniforme. Lemme : les compacts de R sont les segments. Application 1 : les fonctions périodiques continues le sont uniformément. Application 2 : continuité d'une intégrale à paramètre sur un segment. Théorème deStone-Weierstrass. Application : lemme de Lebesgue par l'IPP Lehning Analyse Fonctionnelle chapitre 2 paragraphe 3.B.

Lemme : les connexes de R sont les intervalles. Théorème 2.27 sur lesvaleurs intermédiaires : prendre celui de Hauchecorne. Application : résolution de f(x)=0 par dichotomie. Remarque : la réciproque du théorème est fausse. Contre-exemple avec f : x≠0 → sin(1/x) et 0 → 0. Question : quelle hypothèse rajouter à la PVI pour obtenir la continuité si on n'a pas la monotonie ? Sur les segments, il suffit que f-1({y}) soit fermé.

Continuité de l'application réciproque. Théorème et contre-exemple dans Hauchecorne. Théorèmes 2.30 et 2.32 pour la définition des réciproques des fonctions élémentaires. Application : définition de l'exponentielle comme réciproque de la fonction logarithme.

2) théorèmesd'existence. Formule de la moyennepour les fonctions C1. Application : ∫sint/t est semi convergente. Question : est-ce que ça marche aussi pour les fonctions C0 seulement ? Oui : faire une TA sur une somme de Riemann. CF Gourdon.

Théorème 3.13 surextremum et dérivation. Remarque : la réciproque est fausse. Application 1 :Darboux. Application 2 : ex 3.8 de Rombaldi.

Théorème deRolle. Question : ce théorème est-il vrai pour d'autres fonctions que celles d'une variable réelle à but réel ? Oui : tu peux prendre une evn à la source, mais pas au but. Contre-exemple : t → exp(it). Application : critère de convexité pour les fonctions D2.

TAF Question : ce théorème est-il encore vrai pour les fonctions à but non réel ? Non, même contre-exemple qu'au dessus. Toutefois l'inégalité des accroissements finis est encore vraie. Application 1 : sens de variation avec le signe de la dérivée. Contre exemple dans le cas où on ne travaille pas sur un intervalle: 1/x. Application 2 : th 6.8 sur le prolongement de la dérivée. 2 ∞(k) Exemple d'utilisation : f : 0 → 0 et 0≠x → exp(-x/2) est Cet f(0)=0. Application 3 : dérivabilité d'une intégrale à paramètre sur un segment. Exemple d'utilisation : intégrale de Gauss par l'ED.