Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Introduction à l'arithmétique
Fiche d'exercices en Mathématiques (2011) pour Terminale S

Sujets

A qui sont attribuées ces citations et que signifient-elles? – Tout est nombre. – Die ganzen Zalhen hat der liebe Gott gemarcht, alles andere ist Menschenwerk. Die Zahlen sind eine freie Shöpfung des Menschen. –

Quelques petits problèmes sur les nombres entiers:

1. Associerles éléments des trois lignes du tableau: ℝℕ Nombres entiers naturelsNombres rationnels Quotient Zahl

ℚ Nombres réels Réel

Terminale S spécialité

ℤ Nombres entiers relatifs Nombre (ou naturel)

2. Marieest née le 15 février 1960. Elle aime bien les petits trucs à propos des nombres, mais est incapable de retenir le code de sa carte bancaire, qui est formé de 4 chiffres. A l'aidedes indications suivantes, retrouvera-t-elle ce code? a) La somme des deux derniers chiffres est le numéro de son jour de naissance dans le mois. b) La différence des deux premiers chiffres est égale au numéro de son mois de naissance. c)Le produitde tous les chiffres du code est égal à son année de naissance. d)Le premier chiffre est le plus petit de tous. e)Le dernier chiffre est multiple de 4.

3. Commentexpliquer que le jour de la semaine correspondant à une date donnée « avance de un » entre une année et la suivante (et parfois de deux s'il y a une année bissextile)? ( le 1er septembre est un jeudi cette année et sera un vendredi l'an prochain). Combien de jours vont-ils s'écouler entre le 1er septembre 2010 et le 1er janvier 2011? Quel sera le jour de la semaine correspondant au premier janvier 2011? Et au 1er janvier 2010? Si on donne un numéro à tous les jours de l'année 2010, de 1 pour le 1er janvier à 365 pour le 31 décembre, quel numéro correspond au premier septembre? Quelle condition est vérifiée par les numéros de tous les jours qui tombent un mercredi? Un jeudi? Un mardi?

4. Résoudrele « nombre croisé » suivant: Horizontalement: 1. Carréparfait dont le produit des chiffres est 756. 2. Lenombre formé par ses deux premiers chiffres est le même que le nombre formé par ses deux derniers chiffres. 3. Multiplede 139. Reste de la division euclidienne de 2001 par 9. 4. Permutationde 23444. 5. Carréparfait. Le produit de ses chiffres est 392.

Verticalement: A. La somme de ses chiffres est 35. B. Entier divisible par 11. C.Nombre palindrome. D.Nombre premier. Cube parfait. E.Entier naturel admettant un seul diviseur positif. Le produit de ses chiffres est 72 et seul son dernier chiffre est pair.

5. a)Décomposer 432 et 420 en produit de facteurs premiers. En déduire leur PGCD. Retrouver ce PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide. Laquelle des deux méthodes est la plus rapide? b) Décomposer 6552 et 2491 en produit de facteurs premiers. Laquelle des décompositions est la plus facile à obtenir et pourquoi? En déduire le PGCD de 6552 et 2491 de ces décompositions. 2010, 999, 1789 6. Quelest le chiffre des unités de chacun des nombres:36 9. 7. Dansun tome de l'annuaire de New-York, qui contient moins de 1000 pages, sont inscrits 999 991 abonnés. Chaque page contient le même nombre d'abonnés. Combien ce tome a-t-il de pages?

CORRECTIONintroduction à l'arithmétique

A qui sont attribuées ces citations et que signifient-elles? – Pythagore Kronecker – – Cantor

Quelques petits problèmes sur les nombres entiers:

1. Associerles éléments des trois lignes du tableau: ℝℕ Nombres réelsNombres entiers naturels Réel Nombre(ou naturel)

ℚ Nombres rationnels Quotient

ℤ Nombres entiers relatifs Zahl

3. Commentexpliquer que le jour de la semaine correspondant à une date donnée « avance de un » entre une année et la suivante (et parfois de deux s'il y a une année bissextile)? ( le 1er septembre est un jeudi cette année et sera un vendredi l'an prochain). Cas des années non bissextiles: 365 = 7 X 52 + 1 Cas des années bissextiles: 366 = 7 X 52 + 2 Combien de jours vont-ils s'écouler entre le 1er septembre 2010 et le 1er janvier 2011? Quel sera le jour de la semaine correspondant au premier janvier 2011? Et au 1er janvier 2010? Mer 1er sept -> n°1 Or Sept compte 30 jours, Oct 31; Nov 30 et Déc 31 soit 122 jours. Donc le 1er janvier 2011 est le 123ème jour à compter du 1er septembre 2010. L M M J V S D 12 3 4 5123 = 7 X 17 + 4 . Ici le mercredi correspond à tous les entiers dont le reste est 0. 6 7 8 910 11 12etc... ... 122+1+1 +1+1.Le premier janvier 2011 est donc un samedi (don le 1er/01/2010 est un vendredi) Si on donne un numéro à tous les jours de l'année 2010, de 1 pour le 1er janvier à 365 pour le 31 décembre, quel numéro correspond au premier septembre? Quelle condition est vérifiée par les numéros de tous les jours qui tombent un mercredi? Un jeudi? Un mardi? On donne au 1er/01/2010 le n°1. Il y a 243 jours entre le 1er janvier et le 1er septembre (31+28+31+30+31+30+31+31). Le 1er septembre est le 244°jour, qui est un mercredi. 244 = 7 X 34 + 6. Donc tous les n°s des nombres correspondant aux mercredi sont les n°s dont le reste de la division de 244 par 7 est 6. Donc pour le jeudi, le reste est 7, le mardi le reste est 5.

4. Réponsedu nombre croisé:

9 6 7 2 1 4 3 4 3 9 7 33 4 4 4 2 3 9 77 8

5. a)Décomposer 432 et 420 en produit de facteurs premiers. En déduire leur PGCD. 4 32 22 22 432=2×3Et420=2×5×3×7soit432=2×3×2×3et420=2×3×5×7. Donc PGCD(432;420) = 12. Algorithme d'Euclide: 432 = 420 X 1 + 12 420 = 12 X 35 + 0 On prend le dernier reste non nul donc PGCD(432;420) = 12 (cohérent et plus rapide!) b) Décomposer 6552 et 2491 en produit de facteurs premiers. Laquelle des décompositions est la plus facile à obtenir et pourquoi? En déduire le PGCD de 6552 et 2491 de ces décompositions. 3 2 6552 = 2X 3X91 X 7 x 13 x 1 (assez facile à obtenir) 2491 = 47 X 53 X 1. (plus dure à obtenir!) Ici 1 est le seul diviseur commun de ces deux nombre, d'où PGCD(6552;2491) = 1. (les nombres sont premiers entre eux.) 2010, 999, 1789 6. Quelest le chiffre des unités de chacun des nombres:36 9. 2010 ● 6 : n Puissance n:6 Chiffredes unités: 0 11 1 66 2 366 3 2166 n ∀ ∈ℕ Conjecture:nn ,1, le chiffre des unités de 6est 6. (on va l'appeler Pn) Vérifions l'hérédité: On suppose qu'il existe un rang n pour lequel Pn est vraie. Démontrons que Pn+1est vraie. nn1n = × ∈ℕ D'après l'hypothèse de récurrence,6k10 6kdonc6=6×6<=> n1n1 = × × = × × × =  6k6 66 6k10 3 10 6. En factorisant par 10, on obtient66 10k3 6avec K = 6k + 3 K1 vérifiant . n1 Donc 10K est un multiple de 10 (se termine par 0) et donc en ajoutant 6, il vient que6se termine par 6. CQFD 999 9 : ● 2n2n1 Conjecture:∀n∈ℕ,9se termine par 1 et9se termine par un 9. (Pn) Hérédité: On suppose qu'il existe un rang n tel que Pn est vraie. Démontrons que Pn est héréditaire. Cas des puissances paires:Cas des puissances impaires: 2n2 2n12n22n3 =  9=9×9<=>9 10k9×9d'après Mêmeraisonnement mais avec9. l'hypothèse de récurrence.... 2n2 = ××  × = k10 9 8 10 1 109k81. D'où:9 2n2 K = 9k + 8 est supérieur ou égal à 1, donc9=10K1 2n3 9=10K '9d'où... et se termine bien par un 1. 1789 3: ● Il faut remarquer un cycle de 4 pour changer de puissance. En effet, on pourrait démontrer de même que lorsque n = 1, 4,8,12..., le chiffre des unités est 1; n = 2;6;10, c'est 9; n=3;7;11... c'est 7 et pour n=5;9;12... c'est 3. 1789 4×44714 4474 447 41789   × Donc 3termine parine par un 1 donc3se un 1. Or3=3soit3 3. Or le nombre3se term termine par un 3. 7. Dansun tome de l'annuaire de New-York, qui contient moins de 1000 pages, sont inscrits 999 991 abonnés. Chaque page contient le même nombre d'abonnés. Combien ce tome a-t-il de pages? Soit p le nombre de pages et n le nombre d'abonnés présents sur une page. On a donc np = 999 991. Or 999 991 = 17 X 59 X 997, donc: Si n = 1, p>1000 Si n = 17, p> 1000 Si n = 2, p > 1000 Si n= 59, p>1000 Si n = 997, p = 1003 > 1000 donc nécessairement n = 1003 et p = 997. (méthode exhaustive)