Exercices de Mathématiques de niveau Première

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Avec correction. Dsn4-barycentre
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première SSI

Sujets

TPN° MATHEMATIQUES1°SSI 2010-2011 Exercice 1 Dansun repère(O;i,j!du plan, on considère les pointsA,3 ;5B0 ;%1 etC2 ; 4. ( ! (! (! Calculerles coordonnées deG1Bar{A,%3 ;B, 2;C, 4}et de I milieu de [BC]. ( !( !( ! Exercice 2: Onconsidère un triangle ABC.SoitIle symétrique deApar rapport àB. 1. Montrer queIest le barycentre deAet deBaffectés de coefficients que l'on précisera. SoitJle barycentre deB,, 2C, 3. ( !( ! 2. PlacerJsur le dessin. (%!! (! ( SoitGle barycentre deA, 1,B,, 2C., 3 3. Montrer queGest le point d'intersection des droitesCIetAJ. ( !( ! LadroiteBGcoupe la droite(AC!enK. ( ! 4. Justifier queKest le barycentre deAet deCaffectés de coefficients que l'on précisera. Exercice 3: SoitA,BetCtrois points non alignés du plan et soient les pointsI,JetKdéfinis par: uuuuuuuuuuuuuuuuu 4 13 AK1AB ; BI1BC CJ1CA 7 35 1. ExprimerI,JetKcomme barycentre deA,BouC. 2. Montrer queAI,BJetCKsont concourantes. ( !( !( ! Exercice 4: SoitABC un triangle. Soit I le barycentre deB,, 2C,%1! . ( !( 1. Justifier l'existence d'un unique pointGtel queGA#2GB%GC10 . 2. Construire I etG. 3. Soit M un point quelconque du plan. a.Exprimer le vecteurMA#2MB%MCen fonction du vecteurMG. b.Justifier que le vecteur%MA#2MB%MCest un vecteur indépendant deMque l'on déterminera et quel'on exprimera de la manière la plus simple possible. 4. Donner l'ensemble9des points M du plan tels queMA#2MB%MC1 %MA#2MB%MC. Exercice 5 A et B sont deux points distincts du plan. 1. Construire le barycentreGde{A,1 ;B, 2}. ( !( ! 2. Démontrer que pour tout pointMdu plan on aMA#2MB13MG. 3. En déduire la position du pointMtel que. MA#2MB1AB 4. Placer le point M sur le schéma. Exercice 6 Onconsidère un triangleABC. 1) Montrer que pour tout pointM2du plan ,MA%3MB#MC12BA#BC. 2) a) Construire sur le dessin proposé ci-dessous, le barycentre I de{B,%3 ;C,1}. ( !( ! b)Montrer que :2IA12BA#BC. 3) SoitJle barycentre de{A;, 2C,1}. Montrer que :%3IA12BA#BC. ( !( ! (%! (! 4) SoitKle barycentre de{B;, 3A, 2}. a)Montrer queAI,BJetCKsont parallèles. ( !( !( ! b)En déduire une construction des pointsJetK. 5) a) Quel est l’ensembleEdes pointsM2du plan tels queMA#MC13MA b)Représenter cet ensemble sur la figure.

Exercice 7. 1. Soit G le barycentre de (A;5), (B;2) et (C;3). I est le milieu de [AB} et J celui de [AC]. Alors: Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D G est le milieu de [IJ]G est le barycentre(AG) coupe (BC) enG est le centre de gravité uuuu uuu de (I;2), (J;3)3 dutriangle ACI. M telqueBM1BC 5 2. Soit ABC un triangle, A' le barycentre de (B;3),(C;2), B' le barycentre de (A;1), (C;2), C' le barycentre de(A;1), (B;3) et G le barycentre de (A;1), (B;3) et (C;2). Alors G est le milieu de [CC']Pour tout point M,A est le barycentre GA'#GB'%GC'10 de (B;3), (C;2), (G;-6) MA#3MB#2MC16MG Exercice 2: Leplan est rapporté à un repère orthonormé(O;i,j!et on considère les pointsA%,5; 2B2 ;3 ( !( ! etC%3;%2 . ( ! 1. Démontrer que le triangle ABC est isocèle. 2. Déterminer une équation de la droite (d) passant par C et parallèle à (AB). 3. SoitGtel que2GA#GB1BC. JustifierqueGest le barycentre des pointsA,BetCdont les coefficients seront précisés et déterminerles coordonnées deG.

Exercice 3: SoitABCDun carré de centreOetIle milieu de [AO] . 1. ExprimerIcomme barycentre deOet deA. a( !( !( ! 2. Trouver des coefficients,betdtels que le barycentre deA,a,B,b etD,dsoit le (A, 2!,O., 2 barycentrede ( ! 3. En déduireIcomme barycentre deA,BetD. Exercice 2 ( 3 points) 1. E et F sont deux points distincts du planGdeest le barycentre{(, 3!! (} E;F,%2 . Construirele pointG. 2. N et P sont les points tels queNG12EGetPG12FG. DémontrerqueGest aussi le barycentre du système{N, 3;P,%2}. ( !( ! 3. On considère K le barycentre du système{E,%2 ;F, 3}que. MontrerEG1KF. ( !( !