Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds-4 février 2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Annales

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Publié par	ressources-de-terminale
Nombre de lectures	117
Langue	Français

Extrait

Terminale S3

DS de Mathématiques n° 4 Durée: 4 heures

Exercice 1points) (5 (O;u,v) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct d’unité 1 cm.

25 Février 2010

1.Restitution organisée de connaissances W On rappelle que le pointM’est l’image du pointMpar la rotationret d’angle dede centre ì WM'1 WM(1) ï uuuur uuuuur í (WM,WM'!1a#k2p,kÎ¢(2) ï aî mesure si et seulement si : . wW a.Soientz,z’affixes respectives des pointset les M,M’et . Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments. z'%wz'%w WM'1 WMÛz'%w1z%wÛ 11Û 1 { z%wz%w z z 1 z'z' |;(1) : uuuu uuuuu æz'%wö (WM;WM'!1aà 2kpprèsÛarg =aà 2kpprè ç ¸ èz%wø |(2) :. a w b.En déduire l’expression dez’en fonction dez, et . z'%w z%w Ainsi, le nombre complexe a son module égal à 1 et un de ses arguments égal à; une de ses z'%w iaiaia 1eÛz'%w1e(z%w!Ûz'1e(z%w!#w iaia 1´e1ez%w formes trigonométrique est donc ; Soit . 2 z%4 3z#1610 2.Résoudre dans l’ensembledes nombres complexes l’équation : . On donnera les solutions sous forme algébrique. 2 D 1(%4 3!%4´1´1611%6 00 donc l’équation admet 2 racines complexes conjuguées, à savoir : 4 3%4i z1 12 3%2 1 z1z12 3#2i 22 1 et .

a12 3%2ib12 3#2i 3.SoientAetBet .les points d’affixes respectives a.Écrire a et b sous forme exponentielle. æ ö 3 1æ æpö æpöö pp a14%i14 cos% #isin%%ii ç ç ¸ ç ¸ ¸ a12 3%2i14ç ¸6 6 2 2 6 6 è è ø è ø øa14eb1a14e è ø et donc et

Faire une figure et placer les pointsAetB.

Montrer queOABest un triangle équilatéral. OA1a14 ; OB1b1a1a14 ; AB1b%a1b%b12iIm(b!12i´214i14 ; OABest donc un triangle équilatéral (de côté 4).

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2p c1 %8i3 4.SoitCetle point d’affixe Dson image par la rotation de centreOet d’angle . d14 3#4i Placer les pointsCetD. Montrer que l’affixe du pointDest . 2p æ ö i 1 3 3 d1e(c%0!#01 % #i(8%i!14 3#4i ç ¸ 2 2 d14 3#4iè ø L’affixe du pointDest: D’après le 1.,; CQFD !

5.Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centreOdont on déterminera le rapport. uuur uuur d14 3#4i12(2 3#2i!12bz12zÛOD12OBÛD1h(B! OD OB O; 2 ( ! On a :  ; Dest donc l’image deBpar l’homothétie de centre O et de rapport 2.

6.Montrer queOADest un triangle rectangle. Méthode 1 : OD12OB donc B est le milieu de [OD] ; en tenant compte du 3.c., il vient alors : BO = BA =BD. Le cercle circonscrit au triangle OAD est donc le cercle de diamètre [OD] ; Le triangleOADest donc rectangle enA. 0%a%2 3#2i2%3 2#i 1 1 d%a2 3#6i (4 3#4i!%(2 3%2i! Méthode 2: (%2 3#2i! (2 3%6i!(1%2 1#2!#i(12 3#4 3! 3 1 1 1i 12#36 48 3 ;

æ æ0%aö arg = arg ç ¸ ç èd%aø è donc

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uuur uuur ö 3p p i=Û(AD;AO!1 ¸ 3 2 2 ø doncle triangleOADest rectangle enA.

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Exercice 2 (4 points) On donne la représentation graphique d’une fonctionfdéfinie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8]. B E D A O

x F(x!1f(t!dt ò0 On définit la fonctionFsur I par . 1.a.Que vaut F(0) ? 0 F(0!1f(t!dt1 ò0

xÎ[0 ; 4]xÎ[%3 ; 0] b. Donner le signe deF(xet justifier les réponses.; pour ) pour x F(x!1f(t!dt ∈ ò0 pourx[0 ; 4] : sur [0 ; 4],fest positive donc sur [0 ;x] ; par conséquent, 0. 0 f(t!dt òx ∈ pourx; 0], [−3 : sur [3 ; 0] fnégative donc sur [ est x; 0] ; par conséquent, 0 d’où

x0 F(x!1f(t!dt1 %f(t!d ò0xò  0.

6£F(4!£12 c.Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier les inégalités . 4 F(4!1f(t!d ò0 freprésente l’aire – en u.a.) sous la courbe deétant positive sur [0 ; 4], fsur [0 ; 4] ; Il est clair que cette aire est supérieure à celle du triangle OAB (qui vaut 6) et inférieure à celle du rectangle OBDE (qui vaut 12).

2.a. Que représentef pourF? freprésente la dérivée deFcar,fétant continue sur [-3 ; 8],Fest sa primitive sur [3 ; 8] qui s ‘annule en 0

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b. Déterminer le sens de variation de la fonctionFsur I. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def. |fétant négative sur [ 3 ; 0],Fest décroissante sur [3 ; 0] ;

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fétant positive sur [0 ; 4],Fest croissante sur [0 ; 4] ;

f étant négative sur [4 ; 8], F est décroissante sur [4 ; 8] .

En résumé :

F(3)

On dis ose de deux re

x f(x)

3

 F x

0 0

résentations ra hi ues sur I.

F(4)

Courbe A Courbe B L’une de ces courbes peut-elle représenter la fonctionF? Justifier la réponse.

Bien que leurs variations soient en accord avec celles deF, aucune des 2 courbes ne peut représenter la fonctionF car : Pour A :F(0)  0 (cf. 1.a. ) ;



Pour B :F(4)  [6 ; 12] (cf. 1.c.) .

Exercice 3 (4 points)



F(8)

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PARTIE A : On définit : 1 4 n,u=u+ n+1n unu=13 ( ) 05 5 aoet, pour tout entier naturel .la suite par : n n,S=u=u+u+u+L+u nåk0 1 2n (S) nk=0 bola suite .par : pour tout entier naturel 12 n,u=1+ n n 5 1).Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel (u) n En déduire la limite de la suite . 12 u11# 11#12113 0 0 5 Initialisation : : vrai ; 1212 u11#u11# pp#1#1 pp p20 55 Hérédité : supposons qu'il existe un naturel tel que ; alors est-ce que ? Page6sur106